AMC 10 · 2016 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
coordinate-geometrysimilar-trianglesratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
AB=6, BC=3인 직사각형 ABCD에서 변 BC를 점 E와 F가 세 등분하여 BE=EF=FC이다. 선분 AE는 대각선 BD와 점 P에서 만나고, 선분 AF는 대각선 BD와 점 Q에서 만난다. BP:PQ:QD를 최대공약수가 1인 기약비 r:s:t로 나타낼 때, r+s+t를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
9
(C)
12
(D)
15
(E)
20

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

모서리가 모두 직각이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 직사각형을 좌표 격자 위에 올려 모든 직선을 방정식으로 바꾼다. 꼭짓점 A를 원점에 두면 AE와 AF가 원점을 지나는 직선이 되어 식이 간단해진다. 도구 #1(그림 그리기)로 대각선 위의 순서 B,P,Q,D를 고정해 어느 조각이 무엇인지 분명히 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 개의 깔끔한 교점 문제로 나눈다 — AE∩ BD에서 P를 찾고, 그다음 AF∩ BD에서 Q를 찾는다. 그리고 BD를 따라 흐르는 하나의 공통 변수가 두 교점을 곧바로 세 비의 조각으로 바꿔 준다.

1STEP 1

직사각형을 격자에 올리기

A=(0,0), B=(6,0), C=(6,3), D=(0,3)로 두고 BC를 삼등분하면 E=(6,1), F=(6,2).

A=(0,0), B=(6,0), C=(6,3), D=(0,3), E=(6,1), F=(6,2)
2STEP 2

세 직선을 방정식으로 쓰기

AE, AF는 원점을 지나 AE는 y=x/6, AF는 y=x/3; BD는 (6-6u, 3u), u=0이면 B, u=1이면 D.

AE: y=x/6, AF: y=x/3, BD: (x,y)=(6-6u, 3u)
3STEP 3

대각선 위의 P, 그다음 Q 찾기

(6-6u,3u)를 각 직선에 대입: P는 3u=1-u에서 u=1/4, Q는 3u=2-2u에서 u=2/5.

P: 3u=1-u→ u=1/4; Q: 3u=2-2u→ u=2/5
4STEP 4

분수를 비로 바꾸기

B에서의 거리는 u에 비례하여 BP:PQ:QD=1/4:3/20:3/5=5:3:12, gcd 1, r+s+t=20 — (E).

BP:PQ:QD=1/4:3/20:3/5=5:3:12, 5+3+12=20 → (E)
정답
20
세 부분은 대각선 전체를 다시 이루어야 한다. 5+3+12=20은 u의 전체 범위 0에서 1을 20배한 것과 맞으므로 빠지거나 겹치는 것이 없다. 순서도 타당하다 — E가 F보다 B에 가까우므로 직선 AE는 BD를 B에 더 가까운 곳에서 만나야 하고, 실제로 P(u=1/4)가 Q(u=2/5)보다 앞에 온다. 기약 부분 5,3,12는 공약수가 없으므로 이 비는 이미 기약 상태이다.
💡핵심 정리

직사각형을 격자에 올리고 각 직선을 방정식으로 쓴 뒤, 분수 u 하나를 대각선을 따라 미끄러뜨리면 u의 간격이 바로 조각 5:3:12가 되고, 합은 20이다.

  • 직사각형을 격자에 올리기
  • 세 직선을 방정식으로 쓰기
  • 대각선 위의 P, 그다음 Q 찾기
  • 분수를 비로 바꾸기

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