AMC 10 · 2016 · #22

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationdivisor-countexponents casework ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
어떤 양의 정수 n에 대해 110n³의 양의 약수가 정확히 110개이다. 이 사실로부터 81n⁴의 양의 약수가 몇 개인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
110
(B)
191
(C)
261
(D)
325
(E)
425

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

약수 문제는 소인수분해의 지수에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 110n³ 안 2,5,11의 지수를 이름 붙여 '약수가 110개'라는 조건을 (지수+1)들의 곱에 대한 방정식으로 바꾼다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 지수를 확정한다. 110=2· 5· 11은 각 인수가 적어도 2여야 한다는 조건 아래 약수 개수의 곱으로 쪼개는 방법이 단 하나뿐이기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업 순서를 정리한다. 먼저 n의 지수를 찾고, 그다음 81n⁴을 다시 만들어 약수를 센다.

1STEP 1

지수에 이름 붙이기

110n³ = 2^a·5^b·11^c·…로 쓰면 '약수 110개'는 (a+1)(b+1)(c+1)… = 110이 된다.

d(p₁^e₁… p_k^e_k)=(e₁+1)…(e_k+1)
2STEP 2

110을 인수로 쪼개기

110 = 2·5·11. 2,5,11이 이미 있어 각 인수가 2 이상이므로, 110을 그렇게 쪼개는 길은 2·5·11뿐이다.

110 = 2× 5× 11
3STEP 3

지수 읽어내기

그러면 110n³은 소수 2,5,11만 갖고 (a+1),(b+1),(c+1)이 2,5,11이므로 a,b,c는 1,4,10이다.

{a+1, b+1, c+1}={2,5,11} → {a,b,c}={1,4,10}
4STEP 4

n의 지수 복원하기

110 = 2·5·11을 떼면 n³의 지수는 각각 1 작은 0,3,9이고, 모두 3의 배수라 n의 지수는 0,1,3이다.

n³=2⁰5³11⁹ (어떤 순서로) → n=2⁰5¹11³ (어떤 순서로)
5STEP 5

81n⁴ 만들어 세기

n을 네제곱해 2,5,11 위 지수 0,4,12; 81=3⁴이 소수 3 추가. (4+1)(0+1)(4+1)(12+1) = 325, 답 (D).

81n⁴=3⁴ 2⁰5⁴11¹² (소수는 어떤 순서로), (4+1)(0+1)(4+1)(12+1)=5·1·5·13=325
정답
325
조건에 맞는 구체적 n을 하나 잡자. 예를 들어 n = 5· 11³ = 6655 (2,5,11 위 지수가 0,1,3)이다. 그러면 110n³ = 2¹ 5⁴ 11¹⁰이고 약수 개수는 2· 5· 11 = 110으로 가정과 일치한다. 같은 n에 대해 81n⁴ = 3⁴ 5⁴ 11¹²의 약수는 (4+1)(4+1)(12+1) = 5· 5· 13 = 325개로 (D)를 확인한다. 곱셈은 순서에 무관하므로 지수 0,1,3이 어느 소수에 놓이든 값은 같다.
💡핵심 정리

약수의 개수는 소인수분해의 지수로 센다. 각 소수가 '지수보다 하나 많은' 선택지를 주고, 그것들을 곱하기만 하면 된다.

  • 지수에 이름 붙이기
  • 110을 인수로 쪼개기
  • 지수 읽어내기
  • n의 지수 복원하기
  • 81n⁴ 만들어 세기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.