AMC 10 · 2016 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
arc-measurelaw-of-cosinesisosceles-triangle convert-to-algebra ↑ 선수 지식: law-of-cosines
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
네 꼭짓점이 모두 반지름 200√(2)인 하나의 원 위에 있는 사각형이 있다. 네 변 중 세 변의 길이가 각각 200이다. 나머지 네 번째 변의 길이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
200
(B)
$200\sqrt{2}$
(C)
$200\sqrt{3}$
(D)
$300\sqrt{2}$
(E)
500

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

길이가 같은 이웃한 세 현이 있으면 도형은 거울 대칭이 된다: 도구 #17(공간 상상하기)로, 중심과 같은 변들의 가운데를 지나는 선에 대해 반사하면 양 끝 꼭짓점이 서로 바뀌어 깔끔한 대칭축이 생긴다는 것을 알아챈다. 그러면 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 도구가 된다 — 중심을 원점에, 대칭선을 y축으로 두면 모든 꼭짓점이 원의 방정식 x²+y²=R²으로 정할 수 있는 좌표가 된다. 도구 #1(그림 그리기)로 어느 꼭짓점이 이웃인지 고정해 어느 현이 200이어야 하는지 분명히 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 쉬운 단계로 나눈다: 같은 변에서 위쪽 두 꼭짓점을 찾고, 아래쪽 한 꼭짓점을 찾은 뒤, 대칭으로 네 번째 변을 읽어낸다.

1STEP 1

대칭 좌표 틀 세우기

ABCD 순서로 세 변 AB=BC=CD=200; 대칭이므로 O를 원점, y축을 대칭축으로 두면 각 꼭짓점은 x²+y²=80000.

AB=BC=CD=200, x²+y²=(200√(2))²=80000
2STEP 2

위쪽 두 꼭짓점 놓기

위쪽 같은 변 BC=200은 수평·가운데이므로 B=(-100,h), C=(100,h); 현의 직각삼각형에서 h=100√(7).

h=√(R²-100²)=√(80000-10000)=√(70000)=100√(7)
3STEP 3

A의 두 조건을 쓰고 줄이기

A=(x,y)는 x²+y²=80000, B에서 거리 200; 원의 방정식을 빼면 제곱항이 사라져 직선 x-√(7) y=-600.

(x+100)²+(y-100√(7))²=40000 → x-√(7) y=-600
4STEP 4

A의 좌표 구하기

직선을 원에 넣으면 y²-150√(7) y+35000=0; 두 근 중 y=50√(7)을 택하면 A=(-250, 50√(7)).

y²-150√(7) y+35000=0 → y=50√(7), x=-250
5STEP 5

네 번째 변 읽어내기

대칭으로 D=(250, 50√(7))이므로 수평 변 DA=250-(-250)=500, 세 변 200보다 훨씬 길다 — 답은 (E).

DA=250-(-250)=500 → (E)
정답
500
A가 정말 원 위에 있는지 확인한다: (-250)²+(50√(7))²=62500+17500=80000=R². 그리고 AB=200인지 확인한다: (-250+100)²+(50√(7)-100√(7))²=(-150)²+(-50√(7))²=22500+17500=40000=200². 둘 다 성립한다. 크기도 타당하다: 200짜리 짧은 현 셋은 위쪽에서 작은 호만 덮으므로, 아래쪽 큰 호를 마주 보는 현이 가장 긴 변이어야 하고, 500은 보기 중 가장 큰 값으로 200√(2)≈283이나 300√(2)≈424보다 크다.
💡핵심 정리

세 변이 같으면 도형이 거울 대칭이므로, 중심을 원점에 두고 격자에 올린 뒤 원의 방정식으로 각 꼭짓점을 찾으면, 긴 네 번째 변은 아래쪽을 가로지르는 거리일 뿐 — 500이다.

  • 대칭 좌표 틀 세우기
  • 위쪽 두 꼭짓점 놓기
  • A의 두 조건을 쓰고 줄이기
  • A의 좌표 구하기
  • 네 번째 변 읽어내기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.