AMC 10 · 2016 · #4

학년 7 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

floor-functionfraction-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 x와 y ≠ 0에 대해 함수 rem이 rem(x,y)=x-y⌊ x/y⌋로 정의된다. 여기서 ⌊ t⌋는 t보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다. rem(3/8,-2/5)의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{3}{8}$

(B)

$-\frac{1}{40}$

(C)

(D)

$\frac{3}{8}$

(E)

$\frac{31}{40}$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

공식이 복잡해 보이지만, 사실은 순서대로 하는 세 가지 작은 일일 뿐이고 이것이 바로 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 필요한 이유다: 먼저 x를 y로 나누고, 그 몫의 바닥값을 구한 다음, 다시 대입해 빼면 된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 x=3/8, y=-2/5를 헷갈리지 않게 지켜 각 조각이 제자리에 들어가게 한다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 빠른 점검을 준다: 결과는 분모가 40인 음수여야 하므로 이미 하나의 선택지를 가리킨다.

1STEP 1

수를 공식에 대입하기

x=3/8, y=-2/5를 공식에 넣으면 3/8-(-2/5)⌊ (3/8)/(-2/5)⌋; 어려운 건 바닥값뿐이다.

rem(3/8,-2/5)=3/8-(-2/5)⌊ (3/8)/(-2/5)⌋

2STEP 2

두 분수 나누기

분수로 나누면 뒤집어 곱한다: 3/8÷(-2/5)=3/8·(-5/2), 부호 하나로 몫은 -15/16이 된다.

(3/8)/(-2/5)=3/8·(-5/2)=-15/16

3STEP 3

음수의 바닥값 구하기

-15/16=-0.9375은 -1과 0 사이라 왼쪽 정수로 내려가 ⌊ -15/16⌋=-1(0 아님).

⌊ -15/16⌋=⌊ -0.9375⌋=-1

4STEP 4

다시 대입해서 빼기

바닥값을 알면 3/8-(-2/5)(-1)=3/8-2/5=15/40-16/40=-1/40이고, 정답은 (B)이다.

3/8-(-2/5)(-1)=15/40-16/40=-1/40=(B)

정답

-1/40

결과 -1/40은 두 가지 빠른 검사를 통과한다. 부호: 3/8=15/40은 2/5=16/40보다 아주 살짝 작으므로 차이는 음수이고, 예상과 같다. 분모: 8분의와 5분의를 합치면 분모가 40이 된다. 선택지 중 음수이면서 분모가 40인 것은 (B)뿐이라 정확히 일치한다.

💡핵심 정리

바닥값은 항상 더 작은 수 쪽으로 내림하므로, -0.9375처럼 0보다 살짝 작은 값은 0이 아니라 -1로 떨어진다.

수를 공식에 대입하기
두 분수 나누기
음수의 바닥값 구하기
다시 대입해서 빼기

수를 공식에 대입하기

두 분수 나누기

음수의 바닥값 구하기

다시 대입해서 빼기

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