AMC 10 · 2016 · #6

학년 4 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Digit Place Position
place-valuedigit-counting systematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-value
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
Ximena는 1부터 30까지의 자연수를 적습니다. Emilio는 그 수들을 그대로 베끼되 숫자 2를 모두 숫자 1로 바꿉니다. Ximena의 합이 Emilio의 합보다 얼마나 더 큰지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
13
(B)
26
(C)
102
(D)
103
(E)
110

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

서른 개의 수를 두 번 더하는 것은 느리고 실수하기 쉽습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 두 합 전체를 버리고 둘 사이의 차이만 봅니다. 수의 값은 숫자 2가 1로 바뀌는 자리에서만 변하므로, 전체 차이는 그런 한 자리짜리 감소들로만 이루어집니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 감소들을 자릿값으로 나눕니다 — 십의 자리 2는 하나당 10, 일의 자리 2는 하나당 1이 줄어들기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 1부터 30까지 각 자리에 2가 몇 개 있는지 셉니다.

1STEP 1

줄어드는 양만 따라가기

Emilio의 수는 2가 1로 바뀐 자리에서만 달라지므로, 두 합의 차이는 그 교체에서 잃은 값의 총합입니다.

Ximena - Emilio = Σ (각 숫자 2 에서 잃은 값)
2STEP 2

자릿값으로 나누기

십의 자리 2는 20에서 10으로 줄어(10 손실), 일의 자리 2는 2에서 1로 줄어(1 손실) — 두 자리를 따로 다룹니다.

십의 자리 2 → 1: -10 일의 자리 2 → 1: -1
3STEP 3

십의 자리 2 세기

십의 자리가 2인 수는 20~29의 열 개뿐이고, 각각 10씩 잃어 모두 10 × 10 = 100을 잃습니다.

10 개의 수 × 10 = 100
4STEP 4

일의 자리 2 세기

일의 자리가 2인 수는 2, 12, 22 셋뿐이고, 각각 1씩 잃어 모두 3 × 1 = 3을 잃습니다 (22의 십의 자리 2는 위에서 셌음).

3 개의 수 × 1 = 3
5STEP 5

두 감소를 더하기

두 손실을 더하면 100 + 3 = 103, 즉 Ximena의 합이 Emilio의 합보다 103 더 큽니다 — 보기 (D).

100 + 3 = 103 → (D)
정답
103
십의 자리 손실이 가장 큰 부분이어야 하는데, 열 개의 수가 각각 10씩 줄어 만든 100이 바로 그것이므로 답은 100보다 약간 큰 값이어야 합니다 — 103이 맞습니다. 일의 자리도 확인하면, 22는 11이 되어 11 = 10 + 1만큼 줄고, 이는 십의 자리 합에서 한 번, 일의 자리 합에서 한 번 올바르게 세어집니다. 보기 13과 26은 너무 작고(20대의 열 개를 무시함), 110은 일의 자리 2가 열 개라고 잘못 가정한 값이므로, 103만이 타당합니다.
💡핵심 정리

숫자 2만 바뀌니까, 각각이 잃는 값만 더하면 된다 — 십의 자리 2는 하나당 10, 일의 자리 2는 하나당 1.

  • 줄어드는 양만 따라가기
  • 자릿값으로 나누기
  • 십의 자리 2 세기
  • 일의 자리 2 세기
  • 두 감소를 더하기

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