AMC 10 · 2016 · #9

학년 6 arithmetic
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triangular-numbersdigit-sum guess-and-check ↑ 선수 지식: triangular-numbers
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
동전을 삼각형 모양으로 쌓는다. 첫째 줄에 1개, 둘째 줄에 2개, 이런 식으로 N번째 줄에는 N개를 놓는다. 전체 동전은 2016개이다. 마지막 줄의 번호 N을 구한 뒤, N의 각 자리 숫자의 합을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
7
(C)
8
(D)
9
(E)
10

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

동전 총합은 누적 합 1 + 2 + … + N이다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 마지막 줄을 N이라 부르면 이 합이 깔끔한 식 (N(N+1))/2 하나로 바뀐다. 이를 2016과 같다고 놓으면 N에 대한 식 하나가 나온다. 식 N(N+1) = 4032는 곱이 4032가 되는 연속한 두 수를 찾는 문제이므로, 잘 겨냥한 곱셈 한 번으로 확인되는 도구 #6(추측하고 확인하기)에 딱 맞는다. 마지막으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 문제가 두 부분, 즉 먼저 N을 찾고 그다음에 따로 자리 숫자를 더하는 것임을 일러 주어 N에서 멈추지 않게 한다.

1STEP 1

동전 더미를 식으로 바꾸기

양 끝을 짝지으면 각 짝이 N+1이라 1 + 2 + … + N이 (N(N+1))/2로 줄고, 이를 2016과 같다고 놓는다.

1 + 2 + … + N = (N(N+1))/2 = 2016
2STEP 2

분수 없애기

양변에 2를 곱해 분모를 없애면 N(N+1) = 4032만 남고, 이는 연속한 두 정수의 곱이다.

N(N+1) = 2 × 2016 = 4032
3STEP 3

연속한 두 수 찾기

4032의 제곱근 근처 연속한 두 수를 곱하면 4032이며, 63 × 64가 정확히 맞아 N = 63이다.

63 × 64 = 4032 → N = 63
4STEP 4

N의 자리 숫자 더하기

문제는 N이 아니라 자리 숫자의 합을 원한다: 63의 자리는 6과 3이므로 6 + 3 = 9, 즉 (D)이다.

6 + 3 = 9 → (D)
정답
9
N = 63을 직접 확인하면 (63 × 64)/2 = 4032/2 = 2016으로 주어진 총합과 정확히 같으므로 마지막 줄은 63이 맞다. 자리 숫자 6과 3의 합은 9로 보기 (D)와 일치한다. 이웃한 줄은 넘치거나 모자란다: (62 × 63)/2 = 1953 ＜ 2016이고 (64 × 65)/2 = 2080 ＞ 2016이므로 N은 63일 수밖에 없다.
💡핵심 정리

더미 1 + 2 + … + N은 (N(N+1))/2와 같으므로 이를 2016으로 놓고 63 × 64 = 4032를 찾은 뒤, 63의 자리 숫자를 더하면 9이다.

  • 동전 더미를 식으로 바꾸기
  • 분수 없애기
  • 연속한 두 수 찾기
  • N의 자리 숫자 더하기

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