AMC 10 · 2016 · #12

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
probability-basiccomplementary-countingparity complementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
{1, 2, 3, 4, 5}에서 서로 다른 두 수를 무작위로 골라 곱한다. 그 곱이 짝수일 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0.2
(B)
0.4
(C)
0.5
(D)
0.7
(E)
0.8

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

곱이 짝수가 되는 것은 인수 중 적어도 하나가 짝수일 때인데, "적어도 하나"는 도구 #16(관점 바꾸기, 여사건 세기)의 전형적인 신호다. 짝수 곱이 되는 여러 경우를 쫓는 대신 질문을 뒤집어, 실패하는 단 하나의 깔끔한 경우를 센다. 곱이 홀수가 되는 것은 두 인수가 모두 홀수일 때뿐이라 단 하나의 작은 경우다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 전체 짝의 수와 모두 홀수인 짝의 수를 빠짐없이 센다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 확인이다. 계산한 분수와 맞는 보기는 하나뿐이므로 나머지는 지워진다.

1STEP 1

똑같은 확률의 모든 짝 세기

순서는 상관없으므로 똑같은 확률의 짝의 수는 C(5, 2) = 10이다.

C(5, 2) = (5 × 4)/2 = 10
2STEP 2

더 쉬운 반대 사건으로 뒤집기

짝수 경우 대신 반대를 센다. 곱이 홀수가 되는 것은 두 수가 모두 홀수일 때뿐이다.

곱이 홀수 ⇔ 두 인수가 모두 홀수
3STEP 3

모두 홀수인 짝 세기

홀수 1, 3, 5만 홀수 곱을 만들어 C(3, 2) = 3개의 모두 홀수인 짝이 나오므로 P(홀수) = 3/10이다.

C(3, 2) = 3, P(홀수) = 3/10
4STEP 4

1에서 빼서 답 구하기

짝수와 홀수가 모든 경우이므로 P(짝수) = 1 - 3/10 = 7/10 = 0.7, 즉 보기 (D)이다.

P(짝수) = 1 - 3/10 = 7/10 = 0.7 = (D)
정답
0.7
답 0.7은 절반보다 커야 하고 실제로 그렇다. 대부분의 짝이 두 짝수 중 적어도 하나를 포함하므로 짝수 곱이 우세하다. 직접 세어도 맞다. 10개 짝 중 짝수 곱을 주는 7개는 {1,2}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {4,5}로 7/10과 일치한다. 지워진 보기들은 빠른 점검으로 탈락한다. 0.5라면 짝수와 홀수가 같은 확률이라는 뜻이지만, 짝수 인수 하나면 충분하므로 짝수가 분명히 우세하다.
💡핵심 정리

"적어도 하나"를 묻는 문제는 실패하는 단 하나의 경우를 세서 1에서 빼면 된다.

  • 똑같은 확률의 모든 짝 세기
  • 더 쉬운 반대 사건으로 뒤집기
  • 모두 홀수인 짝 세기
  • 1에서 빼서 답 구하기

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