AMC 10 · 2016 · #18

학년 6 counting

sequences-arithmeticfactorsprime-factorization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

345를 1씩 커지는 연속된 자연수의 합으로, 두 개 이상의 수를 써서 나타내려고 한다. 이런 합이 몇 가지나 가능한지 세는 문제다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

수열의 길이와 시작 수에 이름을 붙이면 합이 깔끔한 방정식 하나로 바뀐다. 그 방정식은 고정된 수와 같은 곱으로 인수분해되므로, 해의 개수를 세는 일이 그 수의 약수 쌍을 세는 일이 된다 — 유한한 목록이라 직접 확인할 수 있다.

1STEP 1

수열을 a에서 시작하는 k개의 항이라 하자. a는 1 이상, k는 2 이상인 자연수다.

a, a+1, …, a+(k-1)

2STEP 2

k개 항의 합은 k(2a+k-1)/2이다. 이를 345로 놓고 양변에 2를 곱하면 k(2a+k-1) = 690이 된다.

(k(2a+k-1))/2=345 ⟹ k(2a+k-1)=690

3STEP 3

두 인수는 k와 2a+k-1이고 k가 더 작다. 690 = 2 x 3 x 5 x 23은 2가 하나뿐이라 약수 쌍마다 짝수·홀수 하나씩이다.

690 = 2· 3· 5· 23

4STEP 4

690의 약수 쌍은 모두 8개이고, 각 쌍에서 더 작은 값이 수열 길이 k의 후보가 된다.

1·690, 2·345, 3·230, 5·138, 6·115, 10·69, 15·46, 23·30

5STEP 5

1x690은 k=1, 즉 수 하나뿐이라 제외된다. 나머지 7쌍은 모두 k가 2 이상이고 시작값 a도 양수라 유효하다.

8쌍 - 1 (길이 1 경우) = 7

정답

일곱 중 둘을 점검하면: 172+173 = 345이고, 4+5+...+26은 평균 15인 23개 항이라 23 x 15 = 345이다. 둘 다 목표에 맞고, 가장 긴 유효 수열도 양수에서 시작하므로 7개라는 결과는 일관적이다.

💡핵심 정리

연속된 수들의 줄은 가운데 값 곱하기 길이와 같아서, 합을 곱으로 바꾸면 그냥 약수 쌍만 세면 된다.