AMC 10 · 2016 · #22
학년 7 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
순환을 정면으로 세는 것은 어렵지만, 세 팀으로 이루어진 모든 묶음은 정확히 두 가지 모양 중 하나에 속한다. 세 결과가 고리를 이루거나(순환), 아니면 묶음 안의 한 팀이 나머지 두 팀을 모두 이긴다(이 팀을 '으뜸' 팀이라 하자). 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)은 어려운 질문을 쉬운 뺄셈으로 바꾼다: 순환 = 전체 묶음 − 으뜸 팀이 있는 묶음. 순환이 아닌 묶음은 으뜸 팀이 정확히 하나뿐이라 세기 쉬우므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 팀을 으뜸 팀으로 두고 그 팀이 이긴 팀 중 둘을 고르며 헤아린다. 도구 #1(그림 그리기)로 화살표를 그리면 두 모양이 눈에 보여 이 구분이 설득력을 얻고, 도구 #4(변수 도입하기)로 먼저 팀이 몇 개인지부터 정한다.
팀이 몇 개인지 구하기
각 팀은 상대마다 한 번씩 10+10=20경기를 했으니 n-1=20, 곧 21개 팀이 있다.
한 팀의 승수와 패수의 합은 그 팀이 상대한 모든 팀이 되므로, 팀의 개수를 거저 알려준다.
6.EE.B.7Use Matrix Logic세 팀으로 된 모든 묶음 세기
결과를 무시하고 21팀 중 3팀을 고르면 (21 · 20 · 19)/6 = 1330개의 순서 없는 묶음이 나온다.
순서 있는 선택을 센 뒤 겹치는 순서를 나눠 없애면, '세 개의 집합이 몇 개냐' 하는 물음이 곱셈 하나와 나눗셈 하나가 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List묶음이 가질 수 있는 두 모양만 보기
묶음의 세 경기에서 화살표는 고리를 이루거나, 으뜸 팀 하나가 나머지 둘을 이기거나 둘 중 하나다 — 둘 다는 아니다.
세 팀 사이에 일방향 화살표 세 개가 있으면, 고리를 이루거나 누군가 두 경기를 다 이기거나 둘 중 하나이며, 제3의 경우는 없다.
7.SP.C.8Draw A Diagram순환이 아닌 묶음 세기
순환이 아닌 묶음마다 으뜸 팀이 하나이고, 그 팀은 10팀을 이겼으니 10 중 2를 골라 21 · C(10,2) = 945개다.
순환이 아닌 묶음마다 나머지 둘을 모두 이긴 팀이 정확히 하나이므로, 그 팀을 기준으로 분류하면 모든 묶음을 한 번씩 센다.
7.SP.C.8Make A Systematic List빼서 순환을 구하기
순환은 전체 묶음에서 순환 아닌 것을 뺀 값이다: 1330 - 945 = 385, 답은 (A).
두 깔끔한 갈래가 전체를 나눌 때는, 지저분한 쪽을 직접 세기보다 한쪽을 세고 빼는 편이 빠르다.
7.NS.A.3Count The Complement세 팀으로 된 모든 묶음은 고리를 이루거나 한 팀이 나머지 둘을 이기거나 둘 중 하나이니, 세기 쉬운 '한 팀이 으뜸인' 묶음을 세서 전체에서 빼면 고리가 나온다.
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