AMC 10 · 2016 · #8

학년 5 arithmetic
유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue
modular-arithmeticexponentsunits-digit-tracking pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic
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문제
2015²⁰¹⁶ - 2017의 십의 자리 숫자를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
3
(D)
5
(E)
8

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

2015²⁰¹⁶은 수천 자리나 되어 직접 쓸 수 없습니다. 하지만 문제는 십의 자리만 묻고, 십의 자리는 마지막 두 자리만으로 정해집니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)는 매 단계에서 마지막 두 자리만 남기고 나머지를 버리게 해 주어, 거대한 거듭제곱을 두 자리 추적 문제로 바꿉니다. 문제가 이렇게 작아지면 도구 #5 (패턴 찾기)로 15의 거듭제곱의 마지막 두 자리가 짧은 반복 주기를 이룬다는 것을 알 수 있어, 2016번 곱하지 않아도 됩니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눕니다 — 먼저 거듭제곱의 마지막 두 자리를 구하고, 그다음 2017을 뺍니다.

1STEP 1

마지막 두 자리만 중요하다

십의 자리는 오른쪽에서 둘째 자리에 있어 마지막 두 자리만으로 정해집니다 — 더 왼쪽은 모두 무시하세요.

N의 십의 자리 = (N의 마지막 두 자리)의 십의 자리
2STEP 2

2015를 15로 바꾸기

곱셈은 각 수의 마지막 두 자리만 남기므로 2015²⁰¹⁶은 15²⁰¹⁶과 같은 끝자리 — 2015 대신 15로 계산합니다.

2015²⁰¹⁶ ≡ 15²⁰¹⁶ (mod 100)
3STEP 3

15의 거듭제곱에서 패턴 찾기

15의 거듭제곱의 마지막 두 자리는 번갈아 갑니다: 짝수 거듭제곱은 25, 홀수 거듭제곱은 75로 끝납니다.

15² → 25, 15³ → 75, 15⁴ → 25, 15⁵ → 75, …
4STEP 4

지수 2016에 패턴 적용하기

지수 2016은 짝수이므로 15²⁰¹⁶은, 따라서 2015²⁰¹⁶도 25로 끝납니다.

2016은 짝수 → 15²⁰¹⁶ → 25 → 2015²⁰¹⁶ ≡ 25 (mod 100)
5STEP 5

2017을 빼고 십의 자리 읽기

2017을 빼도 꼬리만 흔들립니다: 25 - 17 = 08이므로 십의 자리는 0, 답은 (A)입니다.

… 25 - 2017 → 25 - 17 = 08 → 십의 자리 = 0 = (A)
정답
0
더 작은 짝수 지수로 주기를 확인해 봅시다: 15⁴ = 50625로 마지막 두 자리가 25이며, 짝수 거듭제곱 규칙과 맞습니다. 25로 끝나는 수에서 17로 끝나는 수를 빼면 08로 끝나므로, 십의 자리 0은 일관됩니다. 결과 0은 선택지 (A)입니다.
💡핵심 정리

마지막 자리만 묻는 문제라면, 매 단계에서 마지막 두 자리만 남기고 거듭제곱의 패턴을 찾으세요.

  • 마지막 두 자리만 중요하다
  • 2015를 15로 바꾸기
  • 15의 거듭제곱에서 패턴 찾기
  • 지수 2016에 패턴 적용하기
  • 2017을 빼고 십의 자리 읽기

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