AMC 10 · 2017 · #15

학년 7 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityprobability-basic caseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

클로이는 구간 [0, 2017]에서 실수 하나를 균등하게 무작위로 고르고, 독립적으로 로랑은 구간 [0, 4034]에서 실수 하나를 균등하게 무작위로 고릅니다. 로랑이 고른 수가 클로이가 고른 수보다 클 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{2}{3}$

(C)

$\frac{3}{4}$

(D)

$\frac{5}{6}$

(E)

$\frac{7}{8}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

무작위로 고른 두 수는 그 두 값을 좌표로 갖는 하나의 점이 되므로, 도구 #1 (그림 그리기)은 문제 전체를 하나의 그림으로 바꿉니다: 가능한 모든 결과를 담은 직사각형입니다. 선택이 균등하므로 직사각형 안의 모든 자리가 똑같이 잘 나오고, 따라서 확률은 그냥 어떤 넓이를 직사각형의 넓이로 나눈 값입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 그 직사각형을 대각선 L=C를 따라 넓이를 쉽게 구할 수 있는 작은 "클로이가 이기는" 삼각형으로 가릅니다. 그다음 도구 #16 (관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 빠르게 마무리합니다: 클로이가 이길 확률을 구해 1에서 빼면 됩니다.

1STEP 1

모든 결과를 상자 속 한 점으로

각 결과 (C, L)을 점으로 찍으면 가로 2017, 세로 4034 직사각형을 채우고, 확률은 넓이를 2017 × 4034로 나눈 값입니다.

결과 = {(C, L) : 0 ≤ C ≤ 2017, 0 ≤ L ≤ 4034}, 전체 넓이 = 2017 × 4034

2STEP 2

상자를 직선 L = C를 따라 자르기

직선 L = C 아래쪽이 클로이가 이기는 곳(L ＜ C), 두 변이 2017인 직각삼각형이라 넓이는 2017²/2입니다.

클로이가 이기는 삼각형의 넓이 = 1/2 · 2017 · 2017 = 2017²/2

3STEP 3

클로이가 이길 확률은 4분의 1

4034 = 2 × 2017이므로 상자 넓이는 2 · 2017², 클로이 확률은 (2017²/2)/(2 · 2017²) = 1/4입니다.

P(클로이가 이김) = (2017² / 2)/(2 · 2017²) = 1/4

4STEP 4

여집합으로 마무리하기

동점은 넓이 0이라 무시되고, 클로이가 못 이길 때 로랑이 이깁니다: 1 - 1/4 = 3/4, 선택지 (C).

P(로랑이 이김) = 1 - 1/4 = 3/4 = (C)

정답

3/4

3/4은 1/2보다 크며, 이는 타당합니다: 로랑은 두 배 긴 범위에서 뽑으므로, 절반의 경우 그의 수가 이미 [2017, 4034] — 클로이가 고를 수 있는 어떤 값보다도 위 — 에 떨어져 곧바로 이깁니다. 두 번째 방법도 이를 확인해 줍니다: 확률 1/2로 로랑의 수가 2017 위에 있어(확실한 승리), 확률 1/2로 [0, 2017]에 떨어져 두 수가 대칭이라 절반의 경우 이기므로 1/2 · 1 + 1/2 · 1/2 = 3/4입니다. 둘 다 (C)와 일치합니다.

💡핵심 정리

두 무작위 수를 비교할 때는 그것들을 직사각형 속 한 점으로 그려 보세요 — 그러면 확률은 조건이 참인 넓이 조각일 뿐입니다.

모든 결과를 상자 속 한 점으로
상자를 직선 L = C를 따라 자르기
클로이가 이길 확률은 4분의 1
여집합으로 마무리하기

모든 결과를 상자 속 한 점으로

상자를 직선 L = C를 따라 자르기

클로이가 이길 확률은 4분의 1

여집합으로 마무리하기

비슷한 유형 더 풀어보기