AMC 10 · 2017 · #20

학년 6 arithmetic

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

S(n)을 양의 정수 n의 각 자리 숫자의 합이라 하자. 예를 들어 S(1507) = 1+5+0+7 = 13이다. 어떤 n에 대해 S(n) = 1274이다. 보기 중에서 S(n+1)이 될 수 있는 값을 고르시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

1239

(E)

1265

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

n을 직접 볼 수는 없으니, 우리가 다룰 수 있는 것 — 1을 더할 때 자리 숫자 합이 어떻게 변하는지 — 에 집중한다. 작은 수에 도구 #5(패턴 찾기)를 쓰면 깔끔한 규칙이 보인다: 1을 더하면 자리 숫자 합이 1 늘지만, 끝의 9들이 0으로 넘어가면 달라진다. 도구 #4(변수 도입하기)로 끝에 붙은 9의 개수를 k라 부르면 이 규칙이 S(n+1)의 식으로 바뀐다. 그다음 이 문제는 보기가 정해진 객관식이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 보기를 식에 넣어 k가 자연수로 떨어지는 하나만 남긴다.

1STEP 1

1을 더하면 생기는 변화 관찰

S(7)→S(8)은 1만 늘지만 S(19)=10→S(20)=2: 끝의 9가 0이 되어 9를 잃고 올림이 1을 더한다.

S(20)=S(19)-9+1=10-9+1=2

2STEP 2

규칙을 식으로 쓰기

끝에 붙은 9의 개수를 k라 하면, 1을 더할 때 9가 0이 되어 −9k, 다음 자리가 +1 되므로 S(n+1)=1275 − 9k.

S(n+1) = 1274 - 9k + 1 = 1275 - 9k, k = 0,1,2,…

3STEP 3

각 보기에서 자연수 k 검사

보기 c는 1275 − c가 9의 배수여야 하는데, 남는 값 1274, 1272, 1263, 10 은 모두 배수가 아니라 네 보기 탈락.

1274, 1272, 1263, 10 은 9의 배수가 아니다

4STEP 4

남은 보기 확인

1275 − 1239 = 36 = 9×4라 k=4: 끝에 9가 네 개인 n이 존재하므로 S(n+1)은 1239가 될 수 있다 — (D).

1275 - 9(4) = 1275 - 36 = 1239 → (D)

정답

1239

네 보기는 1275 - c가 9로 나누어 나머지가 남아 탈락했고, 1239만 k=4로 살아남아 답이 문제의 약속대로 유일하다. 또한 S(n+1) = 1239가 S(n) = 1274보다 작은 것도 타당하다: 여기서 1을 더하면 네 개의 9가 0으로 굴러떨어지고, 자리 숫자 합이 줄어드는 것이 바로 끝자리 올림이 만드는 현상이다.

💡핵심 정리

1을 더하면 자리 숫자 합은 1 늘지만, 끝에서 0으로 굴러떨어지는 9 하나마다 합이 9씩 줄어든다.

1을 더하면 생기는 변화 관찰
규칙을 식으로 쓰기
각 보기에서 자연수 k 검사
남은 보기 확인

1을 더하면 생기는 변화 관찰

규칙을 식으로 쓰기

각 보기에서 자연수 k 검사

남은 보기 확인

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