AMC 10 · 2017 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
similar-trianglesratio-proportionpythagorean-theorem similar-trianglesconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다리(직각변)가 3과 4이고 빗변이 5인 직각삼각형을 생각하자. 한 삼각형에는 정사각형을 넣되 한 꼭짓점이 직각 꼭짓점에 놓이고 가까운 두 변이 다리를 따라 놓이게 한다. 이 정사각형의 한 변을 x라 하자. 다른 삼각형에는 정사각형의 한 변 전체가 빗변 위에 놓이게 넣는다. 이 정사각형의 한 변을 y라 하자. 비 x/y를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac{12}{13}$
(B)
$\dfrac{35}{37}$
(C)
1
(D)
$\dfrac{37}{35}$
(E)
$\dfrac{13}{12}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

각 정사각형에 이미 x, y라는 이름이 붙어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 중심이다. 두 그림 모두에서 정사각형은 원래와 같은 모양의 작은 삼각형을 잘라내고, 그 닮은 모양이 변을 구할 수 있는 비례식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 깔끔하게 나눈다 — 모서리 정사각형에서 x를, 빗변 정사각형에서 y를 구한 뒤 마지막에 합친다. 두 삼각형이 서로 닿지 않기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기)은 '어느 작은 삼각형이 닮았는가'를 분명하게 해 주는데, 여기서 틀리기 쉬운 단 하나가 바로 그것이다.

1STEP 1

두 정사각형 문제로 나누기

각 정사각형을 따로 푼다: 각각 전체 3-4-5와 닮은 작은 삼각형을 잘라내어 정사각형마다 식이 하나씩 나온다.

x/y = x/1·1/y, x 와 y 를 따로 구한다
2STEP 2

모서리의 정사각형

모서리 정사각형 위 작은 삼각형은 축소된 3-4-5라 밑변 대 높이 비에서 x/(3-x)=4/3, 따라서 x=12/7.

x/(3-x)=4/3 → 7x=12 → x=12/7
3STEP 3

빗변으로 내린 높이

같은 넓이를 두 밑변으로 재면 1/2·3·4=1/2·5·h이므로 빗변 위로 선 높이는 h=12/5이다.

1/2·3·4=1/2·5· h → h=12/5
4STEP 4

빗변 위의 정사각형

정사각형 윗변이 전체와 닮은 삼각형을 자르므로 y/(h-y)=5/h이고, h=12/5이면 y=60/37이다.

y/(h-y)=5/h → y=5h/(h+5)=60/37
5STEP 5

비 구하기

두 변을 나눈다: x/y=(12/7)/(60/37)=12/7·37/60=37/35, 즉 선택지 (D)이다.

x/y=12/7·37/60=37/35 → (D)
정답
37/35
비 37/35는 1보다 조금 크고, 이는 그림과 맞는다: x=12/7≈1.71, y=60/37≈1.62이므로 모서리 정사각형이 빗변 정사각형보다 살짝 크다. 두 변 길이 모두 가장 짧은 다리 3보다 작은데, 내접하는 정사각형이라면 당연하다. 또 둘 다 3-4-5 모양을 유지하는 닮음 비례식에서 나왔다. 값은 정확히 선택지 (D)에 떨어진다.
💡핵심 정리

삼각형에 넣은 정사각형은 같은 삼각형의 작은 복사본을 남기고, 그 변의 비를 맞추면 정사각형 크기가 정해진다.

  • 두 정사각형 문제로 나누기
  • 모서리의 정사각형
  • 빗변으로 내린 높이
  • 빗변 위의 정사각형
  • 비 구하기

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