AMC 10 · 2017 · #25
학년 4 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
900개의 수를 하나씩 확인하는 것은 불가능하므로 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓴다. 각 수를 검사하는 대신 11의 배수에서 출발해 그 배수와 같은 자릿수를 가진 모든 수로 거꾸로 세어 나간다. 그런 배수는 81개뿐이다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 배수의 자릿수가 만드는 올바른 세 자리 재배열이 몇 개인지 센다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 81개의 배수를 자릿수가 몇 개나 겹치는지에 따라 분류한다. 겹치는 자릿수와 0이 재배열 개수를 바꾸기 때문이며, 뒤집기 규칙에서 생기는 중복 계산도 이 분류로 드러난다.
11의 배수 개수 세기
11의 세 자리 배수는 110부터 990까지로 81개이다. 자릿수를 섞어 그중 하나를 만들 수 있으면 조건을 만족한다.
드문 배수에서 거꾸로 세는 것이 900개를 전부 훑는 것보다 훨씬 쉽다.
4.OA.B.4Count The Complement두 배로 세게 만드는 뒤집기 규칙
11 판정은 A-B+C인데 ABC를 CBA로 뒤집어도 값이 같으므로 11의 배수를 뒤집어도 11의 배수이고 같은 자릿수를 쓴다.
11의 배수를 앞뒤로 뒤집으면 같은 자릿수를 가진 또 다른 11의 배수가 된다.
4.OA.A.3Identify Subproblems겹치는 자릿수로 81개 분류
81개를 겹침으로 분류한다. 셋이 같은 경우는 111이 11의 배수가 아니라 없고, 겹침 하나는 17개, 모두 다름은 64개이다.
겹치는 자릿수와 0은 각각 한 자릿수 묶음이 만들 수 있는 실제 수의 개수를 줄인다.
4.OA.A.3Identify Subproblems묶음 II — 겹치는 자릿수, 0 없음
0 없는 겹침은 회문 aba 8개(121, 242, …, 979)로, 각각 3개의 올바른 수를 만들고 뒤집어도 같아 24개다.
같은 자릿수 두 개가 여섯 가지 배열을 셋으로 줄인다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List묶음 II — 겹치는 자릿수와 0
9개의 {a,a,0}(110, 220, …, 990)은 aa0, a0a, 0aa로 놓이지만 0aa는 안 되어 각각 2개씩 18개다.
맨 앞의 0은 불가능하므로 겹친 자릿수에 0이 더해지면 실제 수는 둘뿐이다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List묶음 III — 모두 다른 자릿수, 0 포함
0을 가진 모두 다른 배수 8개(209, 308, …, 902)는 3!=6에서 0 앞선 2개를 빼 각각 4개, 뒤집기 짝으로 절반이라 16개다.
서로 다른 세 자릿수에 0이 있으면 올바른 수가 넷이지만, 뒤집기가 각 짝을 두 번 센다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List묶음 III — 모두 다른 자릿수, 0 없음
남은 56개는 0이 아닌 서로 다른 세 자릿수라 각각 3!=6개, 뒤집기 짝으로 절반이라 168개다.
서로 다른 0이 아닌 세 자릿수는 여섯 수를 만들지만, 각 배수의 뒤집은 수도 세어지므로 절반으로 줄인다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List묶음 더하기
조건을 만족하는 수는 겹치지 않는 한 경우에만 속하므로 더하면 24+18+16+168 = 226, 보기 (A)이다.
겹치지 않는 경우들은 그냥 더하면 된다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List규칙에 맞는 수가 적을 때는 그것들에서 출발해 거꾸로 세고, 맨 앞 0과 두 번 세는 배열을 보정하라.
- 11의 배수 개수 세기
- 두 배로 세게 만드는 뒤집기 규칙
- 겹치는 자릿수로 81개 분류
- 묶음 II — 겹치는 자릿수, 0 없음
- 묶음 II — 겹치는 자릿수와 0
- 묶음 III — 모두 다른 자릿수, 0 포함
- 묶음 III — 모두 다른 자릿수, 0 없음
- 묶음 더하기