AMC 10 · 2017 · #5

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticratio-proportion symmetric-polynomialsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

0이 아닌 두 실수의 합이 두 수의 곱의 4배와 같습니다. 두 수의 역수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 수가 무엇인지 알려주지 않으므로, 도구 #4 (변수 도입하기)로 두 수를 a와 b로 이름 붙이고 주어진 한 가지 사실을 식으로 적습니다. 그다음 도구 #13 (대수로 바꾸기)으로 구하려는 역수의 합을 하나의 분수 (a+b)/ab로 바꾸면 주어진 식 a+b=4ab와 정확히 맞아떨어집니다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 구체적인 두 수에서 결과를 확인합니다.

1STEP 1

수에 이름 붙이고 사실 적기

두 수를 a, b라 하면 "합은 곱의 4배"는 하나의 식 a+b=4ab가 됩니다.

a + b = 4ab

2STEP 2

구하려는 값을 한 분수로 적기

역수의 합 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ 을 공통분모 ab 위에서 한 분수 $\frac{a+b}{ab}$ 로 더합니다.

1/a+1/b=b/ab+a/ab=(a+b)/ab

3STEP 3

대입하고 정리하기

a+b=4ab이므로 $\frac{a+b}{ab}$ 의 분자는 4ab이고, 0이 아닌 ab가 약분되어 4만 남습니다 — 답은 (C)입니다.

(a+b)/ab=4ab/ab=4 → (C)

정답

구체적인 두 수로 시험해 봅니다. a=1이라 하면 1+b=4b에서 b=

\frac{1}{3}

이고, 실제로 곱

\frac{1}{3}

의 4배는

\frac{4}{3}

로 합 1+

\frac{1}{3}

과 같습니다. 역수는 1과 3이고 합은 4로 (C)와 일치합니다. a=b=

\frac{1}{2}

도 성립하며 2+2=4가 됩니다.

💡핵심 정리

역수의 합은 언제나 합을 곱으로 나눈 것이므로, 합이 곱의 4배이면 역수의 합은 4가 됩니다.

수에 이름 붙이고 사실 적기
구하려는 값을 한 분수로 적기
대입하고 정리하기

수에 이름 붙이고 사실 적기

구하려는 값을 한 분수로 적기

대입하고 정리하기

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