AMC 10 · 2017 · #5
학년 7 arithmetic fraction-arithmeticratio-proportion symmetric-polynomialsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
0이 아닌 두 실수의 합이 두 수의 곱의 4배와 같습니다. 두 수의 역수의 합을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
4
(D)
8
(E)
12
AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 수가 무엇인지 알려주지 않으므로, 도구 #4 (변수 도입하기)로 두 수를 a와 b로 이름 붙이고 주어진 한 가지 사실을 식으로 적습니다. 그다음 도구 #13 (대수로 바꾸기)으로 구하려는 역수의 합을 하나의 분수 (a+b)/ab로 바꾸면 주어진 식 a+b=4ab와 정확히 맞아떨어집니다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 구체적인 두 수에서 결과를 확인합니다.
1STEP 1
수에 이름 붙이고 사실 적기
두 수를 a, b라 하면 "합은 곱의 4배"는 하나의 식 a+b=4ab가 됩니다.
a + b = 4ab
모르는 수에 이름을 붙이면 주어진 한 가지 사실을 하나의 식으로 적을 수 있습니다.
6.EE.B.6Use Matrix Logic2STEP 2
구하려는 값을 한 분수로 적기
역수의 합 1/a+1/b을 공통분모 ab 위에서 한 분수 (a+b)/ab로 더합니다.
1/a+1/b=b/ab+a/ab=(a+b)/ab
분모가 같은 두 분수는 하나의 분수로 더해지므로, 역수의 합은 곧 합을 곱으로 나눈 것입니다.
7.NS.A.1Convert To Algebra3STEP 3
대입하고 정리하기
a+b=4ab이므로 (a+b)/ab의 분자는 4ab이고, 0이 아닌 ab가 약분되어 4만 남습니다 — 답은 (C)입니다.
(a+b)/ab=4ab/ab=4 → (C)
분자가 정확히 분모의 4배이면 그 분수는 4가 될 수밖에 없습니다.
7.EE.A.2Convert To Algebra정답
4
구체적인 두 수로 시험해 봅니다. a=1이라 하면 1+b=4b에서 b=1/3이고, 실제로 곱 1/3의 4배는 4/3로 합 1+1/3과 같습니다. 역수는 1과 3이고 합은 4로 (C)와 일치합니다. a=b=1/2도 성립하며 2+2=4가 됩니다.
💡핵심 정리
역수의 합은 언제나 합을 곱으로 나눈 것이므로, 합이 곱의 4배이면 역수의 합은 4가 됩니다.
- 수에 이름 붙이고 사실 적기
- 구하려는 값을 한 분수로 적기
- 대입하고 정리하기