AMC 10 · 2017 · #15

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
similar-trianglescoordinate-geometryarea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
직사각형 ABCD에서 변 AB = 3, 변 BC = 4이다. 꼭짓점 B에서 대각선 AC에 수선을 내려, 그 발을 E라 하자. 삼각형 AED의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$\frac{42}{25}$
(C)
$\frac{28}{15}$
(D)
2
(E)
$\frac{54}{25}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

직사각형을 좌표 격자 위에 올려 모든 점에 좌표를 준다. 그러면 '삼각형 AED의 넓이'라는 복잡한 말이 쉬운 작은 문제로 나뉜다. E가 대각선 시작점에서 얼마나 떨어져 있는지 구하고, 그 다음 밑변과 높이를 읽어내면 된다. A와 D가 같은 축 위에 있으므로 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반 한 번으로 끝난다.

1STEP 1

직사각형을 격자에 놓기

A를 원점에 두고 AB를 x축, AD를 y축에 놓으면 A=(0,0), B=(3,0), C=(3,4), D=(0,4)이다.

A=(0,0), B=(3,0), C=(3,4), D=(0,4)
2STEP 2

대각선의 길이

삼각형 ABC는 B에서 직각이고 두 변이 3, 4이므로 피타고라스 정리로 대각선 AC = 5이다.

AC=√(3²+4²)=√(25)=5
3STEP 3

E가 AC를 따라 얼마나 떨어져 있나

BE는 빗변 AC에 내린 높이로 ABC를 닮은 두 삼각형으로 나누며, 대응변을 맞추면 AE = 9/5이다.

AE=AB²/AC=3²/5=9/5
4STEP 4

E의 x좌표 구하기

AC를 따라 한 단위마다 x는 3/5씩 움직이므로 AE = 9/5이면 E의 x좌표는 x_E = 27/25이다.

x_E=AE·AB/AC=9/5·3/5=27/25
5STEP 5

삼각형 AED의 넓이

밑변 AD는 y축 위 길이 4이고 높이는 x_E = 27/25이므로 넓이는 (1/2)(4)(27/25) = 54/25이다.

[△ AED]=1/2· AD· x_E=1/2· 4·27/25=54/25
정답
54/25
직사각형 전체 넓이는 3 곱하기 4 = 12이고, 삼각형 AED는 꼭짓점 A 근처의 얇은 조각이므로 작은 넓이가 예상된다. 54/25는 약 2.16으로 12보다 훨씬 작고 2 부근에 모인 보기들과 가까워 잘 맞는다. A=(0,0), E=(27/25,36/25), D=(0,4)에 좌표 넓이 공식을 쓰면 (1/2)|0(36/25-4)+27/25(4-0)+0(0-36/25)| = (1/2)(108/25) = 54/25로 결과가 확인된다.
💡핵심 정리

도형을 격자에 올리면 삼각형 넓이는 밑변 곱하기 마지막 점이 옆으로 뻗은 거리의 절반일 뿐이다.

  • 직사각형을 격자에 놓기
  • 대각선의 길이
  • E가 AC를 따라 얼마나 떨어져 있나
  • E의 x좌표 구하기
  • 삼각형 AED의 넓이

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