AMC 10 · 2017 · #22

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
similar-trianglespythagorean-theoreminscribed-anglearea-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
반지름이 2인 원이 있으므로 지름 AB의 길이는 4이다. 이 지름을 B 너머로 연장하여 BD=3이 되는 점 D를 잡는다. 점 E는 선분 ED의 길이가 5이고 직선 AD에 수직이 되도록 정한다. 선분 AE는 A와 E 사이의 점 C에서 원과 만난다. △ ABC의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{120}{37}$
(B)
$\frac{140}{39}$
(C)
$\frac{145}{39}$
(D)
$\frac{140}{37}$
(E)
$\frac{120}{31}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 원, 늘린 지름, 수직 선분이 겹쳐 있으므로 라벨을 단 그림을 그려야 각 요소가 어떻게 맞물리는지 보인다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): '큰 직각삼각형 ADE 찾기', '그 안에 숨은 작은 직각삼각형 ACB 알아채기', '닮은 도형을 길이로 바꾸기'로 작업을 나눈다. 도구 #4 (변수 도입하기): 목표 삼각형의 두 변 AC와 CB를 이름 붙이고 닮음으로 그 길이를 확정한다.

1STEP 1

그림 설정하기

반지름 2로 지름 AB=4, B 너머로 BD=3 연장하여 AD=7, D에서 AD에 수직으로 ED=5를 그려 직각을 표시한다.

AD = AB + BD = 4 + 3 = 7, ∠ ADE = 90°
2STEP 2

AE 구하기

직각삼각형 ADE의 두 변 AD=7, ED=5에서 피타고라스로 AE=√(49+25)=√(74).

AE = √(AD² + ED²) = √(49 + 25) = √(74)
3STEP 3

닮은 삼각형 발견하기

AB가 지름이므로 ∠ACB=90°로 ∠ADE와 같고, ∠A를 공유해 AA로 △ ACB ∼ △ ADE이다.

∠ ACB = ∠ ADE = 90°, ∠ A 공유 → △ ACB ∼ △ ADE
4STEP 4

변의 길이 비례하기

닮음비 AB/AE=4/√(74)로 두 변을 축소하면 AC=28/√(74), CB=20/√(74)이다.

AC = 28/√(74), CB = 20/√(74)
5STEP 5

넓이 계산하기

C에서 직각이라 AC, CB가 밑변과 높이이므로 넓이=½·28/√(74)·20/√(74)=140/37, 선택지 (D).

[△ ABC] = 1/2·28/√(74)·20/√(74) = 560/148 = 140/37 → (D)
정답
140/37
두 변 AC=28/√(74)≈ 3.25, CB=20/√(74)≈ 2.32는 모두 빗변 AB=4보다 짧으며, 지름이 4인 원 안에 있으니 당연하다. 그 곱의 절반은 약 3.78이고 140/37≈ 3.78이므로 크기가 타당하다. 또한 AC²+CB² = (784+400)/74 = 1184/74 = 16 = AB²이 성립하여 C에서의 직각을 확인해 준다.
💡핵심 정리

가장 긴 변이 지름인 삼각형은 직각을 가지므로, 작은 삼각형 ABC는 큰 직각삼각형 ADE를 축소한 복사본일 뿐이다. 대응변을 맞추고 변 곱하기 변의 절반을 취하면 넓이 140/37, 선택지 (D)를 얻는다.

  • 그림 설정하기
  • AE 구하기
  • 닮은 삼각형 발견하기
  • 변의 길이 비례하기
  • 넓이 계산하기

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