AMC 10 · 2017 · #25

학년 6 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
divisibility-rulesmean-median-mode-rangemodular-arithmetic bound-inequality-then-enumerateeasier-related-problem ↑ 선수 지식: divisibility-rules
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
이사벨라는 수학 시험을 7 번 봤고 서로 다른 정수 점수 7 개를 받았으며, 각 점수는 91 이상 100 이하다. 매 시험 후 지금까지 받은 모든 점수의 평균이 정수였다. 7 번째 시험 점수는 95 였다. 6 번째 시험 점수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
92
(B)
94
(C)
96
(D)
98
(E)
100

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 가능성 지우기

도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 모든 점수에서 90을 빼면 지저분한 91-100 범위가 깔끔한 1-10 집합으로 바뀐다. 모든 점수를 90 씩 내리면 모든 평균도 90 씩 내려가므로, 평균이 정수인지 여부는 바뀌지 않는다. 도구 #14 (극단의 원리): 가능한 가장 작은 합과 가장 큰 합이 일곱 시험 합을 7의 배수 몇 개로 좁힌다. 도구 #3 (가능성 지우기): 여섯 시험과 다섯 시험의 배수 조건이 하나만 남기고 모든 후보를 지워, 여섯 번째 점수를 확정한다.

1STEP 1

1부터 10까지의 수로 옮기기

각 점수에서 90을 빼면 1~10의 서로 다른 정수 일곱 개가 되고, 7 번째는 5, 누적 합은 시험 수의 배수로 남는다.

점수-90 ∈ {1,2,…,10}, a₇ = 5, k ∣ (a₁+…+a_k)
2STEP 2

일곱 시험 합의 범위 잡기

옮긴 일곱 점수의 합은 28과 49 사이이고, 7의 배수여야 하므로 28, 35, 42, 49 만 남는다.

28 ≤ S₇ ≤ 49, 7 ∣ S₇ → S₇ ∈ {28,35,42,49}
3STEP 3

여섯 시험 규칙으로 합 확정하기

7 번째 점수 5를 빼면 처음 여섯 합은 6의 배수여야 하는데, 23, 30, 37, 44 중 30 뿐이라 S₆=30 이다.

6 ∣ (S₇-5): 23, 30, 37, 44 → S₇=35, S₆=30
4STEP 4

다섯 시험 규칙으로 여섯 번째 점수 찾기

30이 5의 배수이므로 a₆도 5의 배수여야 하고, 남은 5의 배수는 10 뿐이라 여섯 번째 점수는 10+90=100 (E).

5 ∣ (30-a₆) → 5 ∣ a₆ → a₆=10 → 10+90=100 (E)
정답
100
실제로 가능한 순서가 존재하므로 답은 모순이 없다. 옮긴 점수 1,3,2,6,8,10,5는 누적 합 1,4,6,12,20,30,35를 주고, 이는 각각 1,2,3,4,5,6,7로 정확히 나누어떨어진다. 90을 다시 더하면 실제 점수 91,93,92,96,98,100,95는 91-100 안의 서로 다른 일곱 값이며, 여섯 번째가 100, 일곱 번째가 95로 조건에 맞는다. 보기 중 100 만이 5의 배수인데, 이는 여섯 번째 점수가 5의 배수여야 한다는 규칙과도 일치한다.
💡핵심 정리

정수 평균은 매 누적 합이 깔끔한 배수라는 뜻이고, 마지막 두 단계가 여섯 번째 점수를 5의 배수로 강제한다 — 보기 중 100 만이 들어맞는다, 보기 (E).

  • 1부터 10까지의 수로 옮기기
  • 일곱 시험 합의 범위 잡기
  • 여섯 시험 규칙으로 합 확정하기
  • 다섯 시험 규칙으로 여섯 번째 점수 찾기

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