AMC 10 · 2017 · #6

학년 5 arithmetic
유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Rectangular Tiling — Minimize Filler Count
volume-rectangular-prismspatial-visualization bound-inequality-then-enumeratespatial-visualization ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
📘 쉬운 버전 보기 →
문제
2 in×2 in×1 in 크기의 단단한 블록들을 겹치지 않고 밖으로 튀어나오지도 않게 3 in×2 in×3 in 상자 안에 넣는다. 블록을 최대 몇 개까지 넣을 수 있는지 구하는 문제이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
4
(C)
5
(D)
6
(E)
7

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

"최대"라는 말이 이 문제를 최댓값 문제로 만들므로 도구 #14(극단의 원리)가 전략을 정한다: 어떤 배치로도 넘을 수 없는 천장을 찾고, 그 천장에 실제로 도달할 수 있음을 보인다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 그 천장을 준다 — 블록들의 부피 합은 상자의 부피를 결코 넘을 수 없으므로 두 부피를 나누면 개수가 제한된다. 단단한 블록은 빈틈없이 채워지지 않을 수도 있어서 부피 제한만으로는 도달 가능을 증명하지 못하므로, 도구 #17(공간 상상하기)과 도구 #1(그림 그리기)로 그 천장에 닿는 실제 배치를 만든다. 천장과 그에 맞는 배치를 함께 보이면 답이 정확히 정해진다.

1STEP 1

두 부피 계산하기

부피는 가로×세로×높이: 상자는 3×2×3=18 세제곱인치, 블록 하나는 2×2×1=4 세제곱인치를 쓴다.

V_상자=3×2×3=18, V_블록=2×2×1=4
2STEP 2

부피로 개수에 한계 두기

겹치지 않는 블록의 부피 합은 많아야 상자 부피이니 개수는 많아야 18÷4=4.5, 반쪽 블록은 불가능하니 많아야 넷이다.

18/4=4.5 → 많아야 4개
3STEP 3

4개에 도달하는 배치 만들기

블록 셋을 세워 앞쪽 3×2×2 덩어리를 채우고, 남은 3×2×1 판에 하나를 눕히면 겹침 없는 4개 배치가 완성된다.

3_가로 1 블록+1_눕힌 블록=4
4STEP 4

최댓값 말하기

부피는 넷 초과를 막고 배치는 넷을 채우니 둘이 만난다: 블록의 최대 개수는 4, 보기 (B)이다.

최대=4 → (B)
정답
4
계산을 확인하자: 블록 4개는 4×4=16 세제곱인치를 쓰고 상자는 18 세제곱인치이므로 2 세제곱인치가 남는다 — 한쪽 구석의 작은 1×2×1 빈틈인데, 두께 1인치 자리에는 어떤 블록도 들어갈 수 없으니 괜찮다. 다섯 번째 블록은 18 세제곱인치 상자 안에 20 세제곱인치의 내용물을 요구하므로 불가능하다. 따라서 (B) 4는 도달 가능하면서 동시에 들어갈 수 있는 최대이다.
💡핵심 정리

상자 부피 18을 블록 부피 4로 나누면 4.5이니 많아야 4개 — 그리고 평평한 층으로 쌓으면 실제로 4개가 들어간다, 보기 (B).

  • 두 부피 계산하기
  • 부피로 개수에 한계 두기
  • 4개에 도달하는 배치 만들기
  • 최댓값 말하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.