AMC 10 · 2018 · #10

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

difference-of-squaresfraction-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: difference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 x가 두 제곱근의 차를 3으로 만든다: √(49-x²)-√(25-x²)=3. 같은 두 제곱근의 합 √(49-x²)+√(25-x²)의 값을 구하고, 다섯 보기 중 하나와 맞춘다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{33}+8$

(C)

(D)

$2\sqrt{10}+4$

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): 두 제곱근을 a=√(49-x²), b=√(25-x²)로 이름 붙여 복잡한 근호를 깔끔한 두 글자로 만든다. 문제는 a-b를 주고 a+b를 묻는다 — 합차 공식(제곱의 차) 구조다. 도구 #16 (관점 바꾸기): x를 직접 구하지 말고 a²-b²에 집중한다. 근호를 제곱하면 x²이 사라지고 순수 계산이 되기 때문이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 'a²-b² 구하기'와 '(a-b)(a+b)=a²-b² 쓰기'로 나눈다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 최종 수를 보기와 맞춘다.

1STEP 1

두 근호에 이름 붙이기

a=√(49-x²), b=√(25-x²)로 두면 둘 다 음이 아니고, 엉킨 근호가 깔끔한 두 글자가 된다.

a=√(49-x²), b=√(25-x²)

2STEP 2

주어진 것과 목표 다시 쓰기

이 글자로 주어진 식은 a-b=3, 목표는 a+b — 아는 차와 모르는 합이다.

a-b=3, a+b 구하기

3STEP 3

각 근호를 제곱하기

제곱하면 근호가 풀려 a²=49-x², b²=25-x²만 남고 근호 안의 식이 드러난다.

a²=49-x², b²=25-x²

4STEP 4

빼서 x² 없애기

제곱한 두 식을 빼면 공통 -x²이 지워져 a²-b²=49-25=24만 남는다.

a²-b²=(49-x²)-(25-x²)=24

5STEP 5

제곱의 차 공식 쓰기

제곱의 차로 인수분해하면 a²-b²=(a-b)(a+b), 따라서 (a-b)(a+b)=24이다.

a²-b²=(a-b)(a+b)=24

6STEP 6

합 구하기

a-b=3을 (a-b)(a+b)=24에 넣으면 3(a+b)=24, 따라서 a+b=8 — 보기 (A).

3 (a+b)=24 → a+b=24/3=8 → (A)

정답

합 a+b는 차 a-b=3보다 커야 하는데 8 ＞ 3이므로 크기가 자연스럽다. 빠른 점검: a+b=8이고 a-b=3이면 a=5.5, b=2.5이고, a²-b²=30.25-6.25=24로 근호 안에서 나온 49-25=24와 정확히 일치한다. 이에 대응하는 x²=49-a²=49-30.25=18.75가 양수이므로 실수 x가 실제로 존재한다. 모두 일관된다.

💡핵심 정리

두 제곱근의 차를 알고 합을 구하고 싶을 때는 둘을 곱하라: (a-b)(a+b)=a²-b²이고, 여기서 a²-b²=49-25=24이므로 합은 24÷3=8, 보기 (A)이다.

두 근호에 이름 붙이기
주어진 것과 목표 다시 쓰기
각 근호를 제곱하기
빼서 x² 없애기
제곱의 차 공식 쓰기
합 구하기