AMC 10 · 2018 · #14
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #4 (변수 도입하기): 지수가 4 만큼만 차이 나므로 공통 거듭제곱을 빼내고 a=3⁹⁶, b=2⁹⁶ 으로 이름 붙이면 거대한 분수가 다룰 수 있는 식 (81a+16b)/(a+b) 로 줄어든다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 진짜 거대한 값은 필요 없고 그 값을 두 정수 사이에 가두기만 하면 되므로, 정확한 계산 대신 작은 나머지 항 하나만 간단히 어림한다. 도구 #3 (가능성 지우기): 값이 80 과 81 사이에 있음을 보이면 다섯 보기 중 넷이 불가능해지고 하나만 남는다.
공통 거듭제곱 빼내기
3⁹⁶ 과 2⁹⁶ 을 빼내 a=3⁹⁶, b=2⁹⁶ 으로 두면 분수는 (81a+16b)/(a+b) 가 된다.
같은 밑이고 지수가 넷 차이면, 위쪽 항은 아래쪽 항에 3⁴ 또는 2⁴ 을 곱한 것일 뿐이다.
8.EE.A.1Use Matrix Logic81 이 드러나게 다시 쓰기
분자를 81(a+b) 와 비교하면 65b 만큼 모자라 81a+16b=81(a+b)-65b 이므로 분수는 81-65b/(a+b) 로 갈라진다.
81 에서 나머지를 뺀 꼴로 쓰면 어려운 분수가 '81 보다 살짝 작음' 으로 바뀐다.
7.EE.A.2Use Matrix Logic값은 81 보다 작다
a 와 b 가 모두 양수라 65b/(a+b) 은 81 에서 빼는 양수이므로 값은 81 보다 엄밀히 작다.
81 에서 양의 한 입을 베어 물면 81 아래 어딘가에 떨어진다.
6.NS.C.7Use Matrix Logic나머지는 아주 작다
a+b ＞ a 라 65b/(a+b) ＜ 65(2/3)⁹⁶ 이고 3⁹⁶ 이 65· 2⁹⁶ 을 압도해 1 보다 작다 — 값은 80 위.
3⁹⁶ 이 65· 2⁹⁶ 을 압도하므로 81 에서 베어 무는 양은 1 보다 훨씬 작다.
7.NS.A.3Solve An Easier Related Problem80 과 81 사이에 가두기
값은 81 보다 작고 80 보다 크므로 이웃한 두 정수 사이에 있어 바닥값은 80 이고, 정답은 (A) 이다.
80 과 81 사이에 낀 수의 바닥값은 정확히 80 이다.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities공통 거듭제곱을 빼내면 분수는 81 에서 아주 작은 나머지를 뺀 꼴이 된다. 그 나머지는 1 보다 작으므로 값은 80 과 81 사이에 끼이고 바닥값은 80 이다.
- 공통 거듭제곱 빼내기
- 81 이 드러나게 다시 쓰기
- 값은 81 보다 작다
- 나머지는 아주 작다
- 80 과 81 사이에 가두기