AMC 10 · 2018 · #15

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
tangent-circlessimilar-trianglesratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-trianglestangent-circles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 13인 큰 원 안에 반지름이 5인 똑같은 원 두 개가 들어 있다. 두 작은 원은 서로 맞닿아 있고, 각각은 큰 원 안쪽에서 한 점(A와 B)에서 맞닿는다. 거리 AB를 구해 기약분수 m/n으로 나타내고 m+n을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
21
(B)
29
(C)
58
(D)
69
(E)
93

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

접한다는 것은 어떤 점이 어떤 직선 위에 있는지에 대한 이야기이므로, 깔끔하게 이름 붙인 그림이 핵심이다. 큰 원의 중심과 두 작은 원의 중심을 표시하자. 접하는 원에 대한 두 가지 사실이 그림을 O에서 같은 각을 공유하는 두 삼각형으로 바꿔주고, 그 두 삼각형은 닮음이다. 그러면 문제 전체가 하나의 비례식이 된다.

1STEP 1

중심들을 배치하기

접점은 두 중심을 잇는 직선 위에 있으므로 A는 반직선 OC1 위, B는 반직선 OC2 위에 있다.

A on ray OC₁, B on ray OC₂
2STEP 2

핵심 거리 구하기

내접이므로 OC1 = OC2 = 13 - 5 = 8, 외접이므로 C1C2 = 5 + 5 = 10.

OC₁ = OC₂ = 13 - 5 = 8, C₁C₂ = 5 + 5 = 10
3STEP 3

닮은 삼각형 찾기

삼각형 OC1C2와 OAB는 O에서 같은 각을 공유하고 OA/OC1 = OB/OC2 = 13/8이므로 SAS로 닮음이다.

△ OAB ∼ △ OC₁C₂, OA/OC₁ = OB/OC₂ = 13/8
4STEP 4

AB에 대한 비례식 세우기

확대 비율이 13/8이므로 AB = 13/8 · C1C2 = 13/8 · 10 = 65/4.

AB = 13/8· C₁C₂ = 13/8· 10 = 130/8 = 65/4
5STEP 5

기약분수로 만들고 더하기

65와 4는 공통 인수가 없으므로 m = 65, n = 4이고 m + n = 65 + 4 = 69, 정답 (D).

gcd(65,4)=1, m+n = 65 + 4 = 69
정답
69
AB = 65/4 = 16.25는 큰 원의 반지름 13보다 조금 길지만 지름 26보다는 훨씬 작은데, 이는 아래쪽에 꽤 넓게 벌어져 있는 두 접점과 잘 맞는다. 보기 21, 29, 58, 69, 93은 모두 m+n 값인데, 기약분수 65/4만이 목록에 있는 값 69를 주므로 풀이가 확인된다.
💡핵심 정리

접점은 중심들과 일직선이라서 작은 삼각형과 큰 삼각형은 확대 복사본이고, 답은 그 확대 비율에 쉬운 거리를 곱한 것이다.

  • 중심들을 배치하기
  • 핵심 거리 구하기
  • 닮은 삼각형 찾기
  • AB에 대한 비례식 세우기
  • 기약분수로 만들고 더하기

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