AMC 10 · 2018 · #19

학년 7 probability

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Power Cycle Lookup

units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10pattern-recognitionprobability-basic pattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: units-digit-trackingprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

{11,13,15,17,19}에서 수 m을 무작위로 하나 고르고, 20개의 정수 {1999,2000,…,2018}에서 수 n을 무작위로 하나 고른다. mⁿ의 일의 자리가 1일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{5}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{3}{10}$

(D)

$\frac{7}{20}$

(E)

$\frac{2}{5}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #5 (패턴 찾기): 거듭제곱의 일의 자리는 짧은 주기로 반복되므로, 큰 거듭제곱을 직접 계산하는 대신 각 밑수의 끝자리에 대한 그 반복 주기만 따라가면 된다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 11¹⁹⁹⁹ 같은 거대한 수가 한 자리 끝자리에 대한 질문으로 줄어든다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): m의 다섯 값마다 하나씩, 다섯 가지 경우로 나누어 각 경우에 끝자리가 1이 될 확률을 구한다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 각 끝자리의 주기를 나열하고, 20개의 지수 중 몇 개가 1에 떨어지는지 센다.

1STEP 1

끝자리만 중요하다

mⁿ의 일의 자리는 m의 끝자리에만 의존하므로, 밑수들을 끝자리 1,3,5,7,9로 바꿔 각각을 살펴본다.

11,13,15,17,19 → 끝자리 1,3,5,7,9

2STEP 2

각 주기를 찾는다

각 끝자리를 거듭 곱하면: 1은 늘 1; 3과 7은 지수가 4의 배수일 때만 1; 9는 짝수 지수마다 1; 5는 1이 절대 안 됨.

3ⁿ:3,9,7,1 | 7ⁿ:7,9,3,1 | 9ⁿ:9,1

3STEP 3

1999부터 2018까지에서 성공하는 지수를 센다

1999–2018에는 4의 배수가 5개, 짝수가 10개 있으므로, 1은 20개, 3·7은 각 5개, 5는 0개, 9는 10개 성공.

#{4의 배수}=5, #{짝수}=10

4STEP 4

성공하는 쌍을 모두 더한다

100개의 쌍은 모두 똑같이 나올 수 있고, 성공 합은 20+5+0+5+10=40이므로 확률은 40/100 = 2/5, 보기 (E).

(20+5+0+5+10)/100=40/100=2/5 → (E)

정답

2/5

다섯 밑수가 기여하는 분수는 20/20,5/20,0/20,5/20,10/20, 즉 1,1/4,0,1/4,1/2이다. 똑같이 나올 가능성이 있는 다섯 경우를 평균하면 1/5(1+1/4+0+1/4+1/2)=1/5· 2=2/5로, 40/100과 일치한다. 2/5=0.4는 0과 1 사이에 자연스럽게 들어가고, 끝자리가 1인 밑수는 항상 성공하므로 단순한 추측값 1/5보다 커야 한다는 점과도 맞는다.

💡핵심 정리

거듭제곱의 끝자리는 짧은 반복 고리를 돈다. 그래서 각 밑수마다 1에 떨어지는 지수가 몇 개인지 세서 모두 더하고, 100개의 쌍 전체로 나누면 2/5, 즉 보기 (E)가 나온다.

끝자리만 중요하다
각 주기를 찾는다
1999부터 2018까지에서 성공하는 지수를 센다
성공하는 쌍을 모두 더한다

끝자리만 중요하다

각 주기를 찾는다

1999부터 2018까지에서 성공하는 지수를 센다

성공하는 쌍을 모두 더한다

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