AMC 10 · 2018 · #25
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #13 (대수로 바꾸기): 같은 숫자 d가 k번 반복된 수는 d·(10^k-1)/9와 같으므로, 숫자 나열에 대한 문장 문제가 깔끔한 등식 하나로 바뀐다. 도구 #4 (변수 도입하기): x=10ⁿ으로 놓으면 등식이 x에 대한 다항식이 되고, 'n 값 두 개'는 'x 값 두 개'가 된다. 핵심 지렛대는, x에 대한 일차(선형) 식이 서로 다른 두 x에서 성립하려면 그 식이 항등식이어야 하고, 그러면 계수가 모두 0이 되어야 한다는 점이다. 도구 #14 (극단의 원리): 숫자 사이 관계가 정해지면 합을 키우기 위해 숫자 규칙이 허락하는 만큼 a, b, c를 크게 민다. 도구 #3 (가능성 지우기): a의 몇 안 되는 합법 값을 시험해 b가 9를 넘는 경우를 버린다.
각 반복수를 반복단위로 쓰기
각 반복수는 (숫자)·(10^k-1)/9다. 그래서 A_n=a·(10ⁿ-1)/9, C_n=c·(10²ⁿ-1)/9 꼴이 된다.
모든 반복수는 그 숫자 곱하기 1의 나열이고, 1의 나열은 (10의 거듭제곱 빼기 1)을 9로 나눈 것이다.
8.EE.A.1Convert To Algebrax=10ⁿ으로 놓기
x=10ⁿ으로 놓으면 10²ⁿ=x²이고, 등식은 c(x²-1)/9-b(x-1)/9=a²(x-1)²/81이 된다.
10ⁿ을 x로 이름 붙이면 자릿수 개수에 대한 문장이 보통의 대수가 된다.
8.EE.A.1Use Matrix Logic공통 인수 x-1 약분하기
x²-1=(x-1)(x+1)이고 x=10ⁿ≥10이라 x-1≠0. 약분하면 9c(x+1)-9b=a²(x-1)가 남는다.
x=10ⁿ은 절대 1이 아니므로 공통 인수 x-1이 깔끔하게 약분된다.
7.EE.A.1Convert To Algebrax에 대한 일차식으로 모으기
전개해 모으면 9cx+9c-9b=a²x-a²이 (9c-a²)x+(a²+9c-9b)=0이 된다 — x에 대한 일차식.
(기울기)· x+(상수)=0 꼴로 줄 세우면 모든 것을 좌우하는 두 수가 드러난다.
8.EE.C.7Convert To Algebra두 개의 n이 계수를 모두 0으로 만든다
일차식 Mx+K=0은 M=K=0이 아니면 해가 최대 하나. 두 x=10ⁿ에서 성립하려면 항등식이라 9c-a²=0, a²+9c-9b=0.
직선은 0을 단 한 번만 지나므로, 0을 두 번 지나려면 그 직선이 0에서 평평해야 한다.
8.F.A.1Use Matrix Logic연립식을 풀어 숫자 관계 얻기
첫 식에서 a²=9c, 이를 둘째에 넣으면 18c=9b라 a²=9c, b=2c — c를 정하면 a, b가 정해진다.
두 계수 식이 a와 b를 곧바로 c에 묶어 준다.
8.EE.C.8Use Matrix Logic숫자 제한으로 합법 조합 찾기
c=a²/9라 a는 3의 배수: a=3→(c,b)=(1,2); a=6→(c,b)=(4,8); a=9는 b=18이라 불가.
a²이 숫자의 9배여야 하므로 a는 3의 배수여야 하고, 확인할 경우는 셋뿐이다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities합을 최대로 만들기
(3,2,1)은 합 6, (6,8,4)는 6+8+4=18로 최대 — 보기 (D).
살아남은 경우들 중 가장 큰 숫자가 가장 큰 합을 준다.
8.EE.C.7Evaluate Finite Differences반복된 숫자 묶음마다 (숫자)×(10^k-1)/(9)로 바꾸면 등식이 10ⁿ에 대한 일차식이 되고, 직선은 0을 한 번만 지나므로 두 개의 n에서 성립하려면 a²=9c, b=2c가 강제되며, 가장 큰 합법 숫자 6,8,4의 합은 18, 보기 (D)다.
- 각 반복수를 반복단위로 쓰기
- x=10ⁿ으로 놓기
- 공통 인수 x-1 약분하기
- x에 대한 일차식으로 모으기
- 두 개의 n이 계수를 모두 0으로 만든다
- 연립식을 풀어 숫자 관계 얻기
- 숫자 제한으로 합법 조합 찾기
- 합을 최대로 만들기