AMC 10 · 2018 · #5

학년 6 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

interval-arithmeticlogical-deduction if-then-reasoningcomplementary-counting ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 명의 등산객이 가장 가까운 마을까지의 거리 d(마일)에 대해 각각 "적어도 6," "많아야 5," "많아야 4"라고 주장한다. 세 주장이 모두 거짓이다. d가 가질 수 있는 모든 값을 담은 구간을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(0,4)

(B)

(4,5)

(C)

(4,6)

(D)

(5,6)

(E)

$(5,\infty)$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

우리에게 주어진 것은 d가 무엇인지가 아니라 무엇이 아닌지(각 주장이 거짓)이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 거짓인 각 주장을 참인 반대로 뒤집으라고 말한다. "적어도 6"이 거짓이면 "6보다 작다"가 참이고, "많아야 5"가 거짓이면 "5보다 크다"가 참이며 4에 대해서도 마찬가지다. 도구 #1(그림 그리기)은 세 참인 범위를 하나의 수직선에 올려 겹치는 부분을 눈으로 보이게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 겹친 부분을 보기 구간과 맞춰, 금지된 값을 포함하는 보기를 떨어뜨린다.

1STEP 1

각 주장을 부등식으로 쓰기

각 주장을 d에 대한 부등식으로 바꾼다: "적어도"는 ≥, "많아야"는 ≤를 뜻한다.

Alice: d ≥ 6, Bob: d ≤ 5, Charlie: d ≤ 4

2STEP 2

거짓인 주장을 반대로 뒤집기

각 주장이 거짓이므로 방향을 뒤집는다: ≥는 ＜로, ≤는 ＞로 바뀐다.

not(d ≥ 6) → d ＜ 6, not(d ≤ 5) → d ＞ 5, not(d ≤ 4) → d ＞ 4

3STEP 3

세 참인 범위 겹치기

뒤집힌 세 범위가 동시에 성립해야 하고, 겹치는 곳은 5 ＜ d ＜ 6뿐이다.

d ＜ 6 그리고 d ＞ 5 그리고 d ＞ 4 ⟹ 5 ＜ d ＜ 6

4STEP 4

겹친 부분을 보기와 맞추기

그 띠 5 ＜ d ＜ 6은 열린구간 (5,6), 곧 보기 (D)이다.

{ d : 5 ＜ d ＜ 6 } = (5,6) → (D)

정답

(5,6)

(5,6) 안의 값, 예를 들어 d = 5.5를 시험하자: Alice( ≥ 6) 거짓, Bob( ≤ 5) 거짓, Charlie( ≤ 4) 거짓 — 요구대로 셋 다 거짓이다. 제외된 끝점도 확인하면 d = 5는 Bob을 참으로, d = 6은 Alice를 참으로 만들어 둘 다 올바르게 바깥에 놓인다. d = 4.5 같은 값은 Bob과 Charlie의 주장은 거짓으로 만들지만 5보다 작아 d ＞ 5를 어긴다 — 그래서 5 아래로 내려가는 보기 (B), (C), (A)는 틀린 것이다.

💡핵심 정리

주장이 거짓이면 그냥 뒤집으면 된다: "적어도 6"은 "6보다 작다"가 되고, 뒤집힌 세 주장을 수직선에 쌓으면 d가 (5,6) 틈에 갇힌다.

각 주장을 부등식으로 쓰기
거짓인 주장을 반대로 뒤집기
세 참인 범위 겹치기
겹친 부분을 보기와 맞추기

각 주장을 부등식으로 쓰기

거짓인 주장을 반대로 뒤집기

세 참인 범위 겹치기

겹친 부분을 보기와 맞추기

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