AMC 10 · 2018 · #7

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationexponentsdivisibility-rules convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
식 4000·(2/5)ⁿ의 지수 n은 양수, 0, 음수가 모두 될 수 있는 정수이다. 이 식 전체가 정수가 되게 하는 정수 n의 개수를 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
4
(C)
6
(D)
8
(E)
9

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수로 바꾸기): 모든 것을 소수의 거듭제곱으로 다시 써서 '정수가 된다'는 막연한 말을 지수에 대한 정확한 조건으로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 등장하는 소수는 2와 5뿐이므로, 하나의 조건이 2의 거듭제곱 규칙과 5의 거듭제곱 규칙 두 개로 갈라진다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 두 규칙이 n의 범위를 정하면, 그 범위 안의 정수를 나열하고 센다.

1STEP 1

4000을 소인수분해하기

4000을 소인수분해하면 4000 = 2⁵· 5³, 식 전체가 소수 2와 5로만 이루어진다.

4000 = 2⁵· 5³
2STEP 2

하나의 소수 곱으로 다시 쓰기

지수 법칙으로 (2/5)ⁿ = 2ⁿ· 5⁻ⁿ, 2⁵· 5³을 곱해 지수를 더하면 4000·(2/5)ⁿ = 2⁵⁺ⁿ· 5³⁻ⁿ이 된다.

4000·(2/5)ⁿ = 2⁵· 5³· 2ⁿ· 5⁻ⁿ = 2⁵⁺ⁿ· 5³⁻ⁿ
3STEP 3

'정수'를 지수 규칙으로 바꾸기

어느 소수도 분모로 내려가지 않을 때만 정수이므로, 5+n ≥ 0 이고 3-n ≥ 0이어야 한다.

2⁵⁺ⁿ· 5³⁻ⁿinZ⇔ 5+n ≥ 0 이고 3-n ≥ 0
4STEP 4

두 부등식 풀기

각각 풀면 n ≥ -5, n ≤ 3, 두 조건이 동시에 성립해야 하므로 -5 ≤ n ≤ 3이다.

n ≥ -5 이고 n ≤ 3 ⟹ -5 ≤ n ≤ 3
5STEP 5

범위 안의 정수 세기

-5부터 3까지의 정수를 3-(-5)+1로 세면 정수 n은 9개 — 보기 (E)이다.

-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 → 3-(-5)+1 = 9 → (E)
정답
9
양 끝을 확인한다. n=3일 때: 2⁸· 5⁰=256, 정수이다. n=-5일 때: 2⁰· 5⁸=390625, 정수이다. 각 끝 바로 너머는 실패한다: n=4는 5⁻¹(분모에 5), n=-6은 2⁻¹(분모에 2)을 준다. 그래서 -5와 3이 정말로 마지막으로 성립하는 값이고, 그 사이의 모든 정수도 성립한다. 개수 9는 보기 (E)와 일치하며, 가장 큰 보기인 점도 음수 쪽을 빠뜨리지 않도록 일부러 보상하는 '양쪽 부호 허용' 문제에 잘 맞는다.
💡핵심 정리

4000·(2/5)ⁿ을 2⁵⁺ⁿ· 5³⁻ⁿ으로 쓰면, 두 지수가 모두 ≥ 0일 때만 정수로 남으므로 -5 ≤ n ≤ 3, 즉 9개 — 보기 (E).

  • 4000을 소인수분해하기
  • 하나의 소수 곱으로 다시 쓰기
  • '정수'를 지수 규칙으로 바꾸기
  • 두 부등식 풀기
  • 범위 안의 정수 세기

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