AMC 10 · 2018 · #11
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AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #3 (가능성 지우기): 이 문제는 양쪽이 비대칭이다. 어떤 보기를 떨어뜨리려면 그것을 소수로 만드는 소수 p 하나만 잡으면 되고, 정답을 가리려면 모든 p에 대해 합성수일 수밖에 없는 이유가 필요하다. 도구 #5 (패턴 찾기): 그 강제 이유는 소수와 3에 관한 깔끔한 사실에서 나온다 — 3을 제외한 모든 소수는 3의 배수와 이웃해 있다. 도구 #4 (변수 도입하기): p를 기호로 둔 채 p²+26을 변형하면 모든 소수에 대해 동시에 성립하는 숨은 약수 3이 드러나며, 이는 몇 번의 수치 검증으로는 결코 증명할 수 없다.
일을 두 갈래로 나누기
"항상 소수 아님"은 모든 p 주장이다. 네 보기는 예시 하나로 지우고, 정답은 모든 p에 통하는 고정 약수가 필요하다.
"항상 합성수"를 증명하려면 모든 p를 덮는 이유가 필요하고, "가끔 소수"는 운 좋은 p 하나면 된다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities소수는 3의 배수에 붙어 있다
p-1, p, p+1 중 하나는 3의 배수인데 p≠3인 소수면 p가 아니므로 (p-1)(p+1)은 3의 배수다.
3의 배수는 세 칸마다 나오므로, 3이 아닌 소수는 항상 그 옆에 하나를 둔다.
3.OA.D.9Look For A Pattern(C)를 변형해 3을 드러내기
(C)를 변형: p²+26 = (p-1)(p+1) + 27. 두 조각 모두 3의 배수(27=3·9)이므로 3 ∣ p²+26.
26을 -1+27로 쪼개면 식이 둘 다 눈에 띄게 3으로 나누어지는 두 조각으로 바뀐다.
6.EE.A.3Use Matrix Logic늘 3의 배수, 늘 합성수
모든 소수 p에서 p²+26 ＞ 3이고 3의 배수(p=3이면 35=5·7)이므로 모든 소수 p에서 합성수다.
3보다 큰 수가 일단 3의 배수이면 소수일 수 없다 — 이미 3이 나누고 있다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities나머지 네 식은 소수가 될 수 있다
나머지 네 보기는 각각 소수가 되는 p가 있지만(예: A p=5→41), p²+26만 모든 소수에 버틴다 — 답 (C).
보기마다 소수 예시 하나면 그 보기를 혐의에서 벗기기에 충분하다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities3이 아닌 소수는 항상 3의 배수 옆에 있고, p²+26=(p-1)(p+1)+27은 3으로 나누어지는 두 조각으로 이루어져 있다 — 그래서 늘 3의 배수이고, 따라서 절대 소수가 아니다.
- 일을 두 갈래로 나누기
- 소수는 3의 배수에 붙어 있다
- (C)를 변형해 3을 드러내기
- 늘 3의 배수, 늘 합성수
- 나머지 네 식은 소수가 될 수 있다