AMC 10 · 2018 · #19

학년 6 rate-ratio
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
divisor-countmultiplesdigit-sum convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: divisor-count
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
조이, 클로이, 그리고 그들의 딸 조이(Zoe)는 생일이 같다. 조이(Joey)는 클로이보다 1살 많고, 조이(Zoe)는 오늘 정확히 1살이다. 오늘은 클로이의 나이가 조이(Zoe)의 나이의 정수배가 되는 9번의 생일 중 첫 번째이다. 조이(Joey)의 나이가 다음번에 조이(Zoe)의 나이의 정수배가 될 때, 그 나이의 두 자리 수의 각 자리 숫자의 합을 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
11

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 자라나는 두 나이의 복잡한 비율을 좇는 대신, 둘 사이의 차이에 주목한다. 생일이 같은 두 사람은 나이 차이가 영원히 그대로이고, 그 고정된 차이가 핵심이다 — 조이(Zoe)의 나이가 그 일정한 차이를 나눌 때만 배수가 만들어진다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 클로이의 나이를 문자로 두고 t년 후의 나이를 써서 "배수"를 깔끔한 나눗셈(약수) 조건으로 바꾼다. 도구 #5 (패턴 찾기): 조이(Zoe)의 나이가 1, 2, 3, …를 순서대로 거치므로, 배수가 되는 생일은 고정된 차이의 약수와 정확히 일치하고, 그래서 생일을 세는 일이 약수를 세는 일이 된다.

1STEP 1

나이에 이름 붙이기

클로이를 C라 두면 조이(Joey)=C+1, 조이(Zoe)=1이고, t년 후 '1+t가 C+t를 나눔'이 곧 '배수'다.

클로이 = C+t, 조이(Zoe) = 1+t, 조이(Joey) = C+1+t
2STEP 2

고정된 차이 보기

생일이 같아 클로이와 조이(Zoe)의 차이 (C+t)-(1+t)=C-1은 고정이고, 1+t가 C+t를 나누면 C-1도 나눈다.

(C+t)-(1+t) = C-1 → (1+t) ∣ (C-1)
3STEP 3

생일 수 = 약수 개수

t가 커지면 조이(Zoe)의 나이 1+t는 모든 자연수를 한 번씩 거치므로 배수 생일은 C-1의 약수와 일치하고 그 개수가 9다.

#{배수 생일} = #{C-1의 약수} = 9
4STEP 4

약수가 아홉 개인 차이 찾기

약수 9개는 p⁸ 또는 p²q² 꼴; 가장 현실적인 차이는 C-1 = 36 = 2²·3²이라 클로이는 37, 조이(Joey)는 38이다.

C-1 = 2²· 3² = 36 → C = 37, 조이(Joey) = 38
5STEP 5

조이(Joey)에 대해 똑같이 하기

조이(Joey)와 조이(Zoe)의 차이 C = 37은 소수라, 다음 배수 생일은 조이(Joey) = 74; 7+4 = 11, 답 (E).

37 소수 → 다음 조이(Zoe) = 37, 조이(Joey) = 74, 7+4 = 11 → (E)
정답
11
36이 정말 약수를 아홉 개 갖는지 확인한다: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — 정확히 9개로 클로이의 아홉 생일과 맞고, 약속대로 첫 번째(조이(Zoe) =1, 오늘)가 포함된다. 클로이 37, 조이(Joey) 38이면 조이(Joey)와 조이(Zoe)의 차이는 37, 소수이므로 다음 배수 생일은 조이(Zoe) =37, 조이(Joey) =74이고, 실제로 74 = 2 × 37은 깔끔한 배수이다. 자리 숫자 합 7+4 = 11은 보기 (E)이다. 다른 경우 C-1 = 256은 클로이를 257살로 만들어 — 1살 아이의 부모로는 불가능 — 하므로 36만이 합리적인 차이이고, 결과가 확정된다.
💡핵심 정리

생일이 같은 사람들은 나이 차이가 영원히 그대로라서, "한 나이가 다른 나이의 배수"라는 말은 작은 나이가 그 고정된 차이를 나눈다는 뜻일 뿐이다 — 차이의 약수를 세면 생일을 세는 것이다.

  • 나이에 이름 붙이기
  • 고정된 차이 보기
  • 생일 수 = 약수 개수
  • 약수가 아홉 개인 차이 찾기
  • 조이(Joey)에 대해 똑같이 하기

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