AMC 10 · 2018 · #21
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AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 문제 전체가 무엇이 n을 나누는가에 관한 것이므로, 323을 소인수분해하고 어떤 소인수가 반드시 n도 나누는지 따라가는 것이 핵심 엔진이다. 도구 #4 (변수 도입하기): 다음 약수를 d로 이름 붙이면 값을 알기 전에 그것을 두고 논의할 수 있다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 일을 'd가 어떤 꼴이어야 하는가'와 '어느 보기가 가장 작으면서 실제로 가능한가'로 나눈다. 도구 #3 (가능성 지우기): d가 17 또는 19의 배수여야 함을 알면, 보기 두 개가 이 조건을 통과하지 못해 바로 떨어진다.
다음 약수에 이름을 붙이고 사실을 적기
d = 323 바로 다음 약수 = 323보다 큰 n의 최소 약수. n은 짝수·네 자리이고 323이 나눈다.
모르는 약수에 이름을 붙이면 수를 정하기 전에 그것을 두고 따져 볼 수 있다.
4.NBT.A.2Use Matrix Logic323을 소인수분해해 무엇이 n을 나눠야 하는지 보기
323 = 17 × 19이고 둘 다 소수. 323이 n을 나누므로 n은 17, 19, 그리고 짝수라 2의 배수이다.
약수의 소인수는 그 수 전체도 나눌 수밖에 없다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem다음 약수가 17 또는 19를 인수로 가져야 함을 보이기
d가 323과 서로소면 323d ∣ n, 즉 n ≥ 323 × 324 = 104652로 여섯 자리. 그래서 d는 17 또는 19의 배수다.
다음 약수가 323과 아무것도 공유하지 않으면, 수는 둘을 모두 삼켜야 해서 네 자리를 훌쩍 넘는다.
6.NS.B.4Solve An Easier Related Problem323보다 큰 17 또는 19의 배수 중 가장 작은 것 찾기
17 다음 배수 17 × 20 = 340, 19 다음 배수 19 × 18 = 342. 보기 중 340, 361, 646만 통과, 340이 최소.
17이나 19의 배수만 살아남고, 323 바로 다음 것은 340이다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities340이 실제로 가능한지 확인하기
n = lcm(323, 340) = 6460은 짝수·네 자리, 약수가 323 다음 곧장 340이라 사이가 없다. 답은 (C).
두 약수를 모두 담는 가장 작은 수를 만들어 보면 둘 사이에 약수가 끼지 않음을 확인할 수 있다.
6.NS.B.4Identify Subproblems323=17×19이므로 다음 약수는 17이나 19를 나눠 가져야 하고, 323 다음 첫 번째는 17×20=340이다.
- 다음 약수에 이름을 붙이고 사실을 적기
- 323을 소인수분해해 무엇이 n을 나눠야 하는지 보기
- 다음 약수가 17 또는 19를 인수로 가져야 함을 보이기
- 323보다 큰 17 또는 19의 배수 중 가장 작은 것 찾기
- 340이 실제로 가능한지 확인하기