AMC 10 · 2018 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityarea-circlespolygon-inequalitylaw-of-cosines convert-to-algebracomplementary-countingcasework ↑ 선수 지식: geometric-probability

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 수 x와 y를 각각 0과 1 사이에서 무작위로 고른다. x, y, 1을 삼각형의 세 변 길이로 본다. 이 삼각형이 둔각삼각형(90°보다 큰 각이 하나 있는 삼각형)일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{ 0.21}$

(B)

$text{ 0.25}$

(C)

$text{ 0.29}$

(D)

$text{ 0.50}$

(E)

$text{ 0.79}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #13 (대수로 바꾸기): "삼각형"과 "둔각"이라는 말 속에는 x와 y에 대한 깔끔한 부등식 두 개 — 삼각부등식과 피타고라스 부등식 — 이 숨어 있으므로, 첫 일은 조건을 대수로 바꾸는 것이다. 도구 #1 (그림 그리기): x와 y를 두 좌표로 보면 모든 결과는 단위정사각형 안의 한 점이 되고, 유리한 결과들이 한 영역을 채운다; 확률은 그 영역의 넓이를 정사각형 넓이 1로 나눈 값일 뿐이다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 유리한 영역을 곧장 적분하기는 까다롭지만, 그것은 사분원에서 삼각형 하나를 잘라낸 것과 같으므로 정면으로가 아니라 뺄셈으로 구한다.

1STEP 1

길이가 언제 삼각형을 이루는가

x ≤ 1이고 y ≤ 1이라 가장 긴 변은 1이므로, 깨질 수 있는 삼각형 조건은 x + y ＞ 1뿐이다.

x + y ＞ 1

2STEP 2

삼각형이 언제 둔각인가

가장 큰 각은 변 1을 마주하고, 피타고라스 부등식에 의해 그 각이 둔각인 것은 x² + y² ＜ 1일 때뿐이다.

1² ＞ x² + y² ⟹ x² + y² ＜ 1

3STEP 3

표본공간과 이기는 영역 그리기

각 결과는 단위정사각형 안의 한 점이고 그 넓이가 1이라, 확률은 곧 x + y = 1 위이면서 x² + y² ＜ 1 안인 조각의 넓이다.

{(x,y) : x + y ＞ 1 그리고 x² + y² ＜ 1} ⊂ [0,1]²

4STEP 4

사분원의 넓이

정사각형 안에서 x² + y² ＜ 1인 부분은 반지름 1인 원의 사분의 일이라, 그 넓이는 π/4이다.

사분원 넓이 = 1/4π (1)² = π/4

5STEP 5

직선 아래 삼각형 잘라내기

사분원에서 현 아래 넓이 1/2인 직각삼각형을 빼면 π/4 - 1/2가 남는다.

유리한 넓이 = π/4 - 1/2

6STEP 6

계산하고 가장 가까운 보기 고르기

정사각형의 넓이가 1이므로 유리한 넓이가 곧 확률이다: π/4 - 1/2 ≈ 0.2854, 반올림하면 약 0.29 — 보기 (C).

π/4 - 1/2 ≈ 0.2854 ≈ 0.29 → (C)

정답

text{ 0.29}

결과 0.2854는 어떤 확률이든 그래야 하듯 0과 1 사이에 안전하게 놓인다. 둔각이 꽤 드문 것은 합리적이다: 삼각형을 이루려면 이미 x + y ＞ 1이 필요하고(1/2의 확률), 그 위에 변 1을 마주한 모서리가 벌어져야 해서 영역이 더 깎인다. 함정 보기들은 각각 잘못 멈춘 지점과 맞는다: 0.50은 삼각형 조건만, 0.79 ≈ π/4는 삼각형을 빼는 것을 잊은 것, 0.21 같은 값은 엉뚱한 조각을 빼는 실수에서 나온다. 오직 π/4 - 1/2 ≈ 0.29만 살아남아 (C)와 일치한다.

💡핵심 정리

두 무작위 수가 도형을 정할 때는 그것을 정사각형 안의 한 점으로 그리고, 확률을 이기는 영역의 넓이로 바꾸어라.

길이가 언제 삼각형을 이루는가
삼각형이 언제 둔각인가
표본공간과 이기는 영역 그리기
사분원의 넓이
직선 아래 삼각형 잘라내기
계산하고 가장 가까운 보기 고르기