AMC 10 · 2019 · #10

학년 6 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Grid Diagonal Cell Count

gcdlattice-pathspattern-recognitioncoordinate-geometry pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: gcd

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

10 피트 × 17 피트 직사각형 바닥에 한 변이 1 피트인 정사각형 타일 170 개가 깔려 있음. 벌레가 한 모서리에서 대각선 맞은편 모서리까지 직선으로 걸어감. 시작 타일과 끝 타일을 포함해 벌레가 지나가는 타일 개수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

10 × 17 격자 대각선이 지나는 타일을 직접 세기는 어려움. 도구 #9: 작은 격자 (1 × 1, 2 × 3, 3 × 4, 3 × 5) 로 줄여 그림 (도구 #1) 으로 세기. 도구 #5 로 공식 a + b - gcd(a, b) 유추. a = 10, b = 17 대입 후 도구 #3 으로 선택지 매칭.

1STEP 1

쉬운 사례: 2 × 3 격자 대각선은 세로선 1·가로선 1 을 갈라 4 칸을 지남.

2 × 3 격자: 지나가는 타일 = 4

2STEP 2

더 많은 사례: gcd = 1 이라 격자점 안 지나며 3 × 4 는 6 칸, 3 × 5 는 7 칸.

3 × 4: 타일 = 6; 3 × 5: 타일 = 7

3STEP 3

패턴: 첫 칸 1 개로 시작해 내부 선 하나 넘을 때마다 +1, gcd(a, b) = 1 이면 a + b - 1.

지나가는 타일 = a + b - 1 (gcd(a, b) = 1)

4STEP 4

공식 검증: 2 + 3 - 1 = 4, 3 + 5 - 1 = 7 로 그림과 일치.

2 + 3 - 1 = 4 ✓, 3 + 5 - 1 = 7 ✓

5STEP 5

gcd(10, 17) = 1 확인: 17 은 소수라 10 을 나누지 않아 공식 적용 가능.

gcd(10, 17) = 1

6STEP 6

a + b - 1 에 a = 10, b = 17 대입: 벌레는 26 칸을 지남.

10 + 17 - 1 = 26

7STEP 7

따라서 26 칸 은 (C).

26 → (C)

정답

직접 검산: 벌레는 내부 세로선 9 개 (10 열 사이) 와 내부 가로선 16 개 (17 행 사이) 를 가름. gcd(10, 17) = 1 이라 대각선이 내부 격자점을 절대 지나지 않으니 두 종류 선이 동시에 만나는 일이 없음. 9 + 16 = 25 번의 가름 각각이 새 타일로 진입, 시작 타일 1 을 더해 1 + 25 = 26. 일반 공식 a + b - gcd(a, b) 와 일치. max(a, b) = 17 와 a + b - 1 = 26 사이 범위이므로 합리적. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — 작은 격자부터 시도. 2 × 3 대각선은 4 칸, 3 × 5 대각선은 7 칸 지남. gcd(a, b) = 1 이면 공식 a + b - 1. gcd(10, 17) = 1 이므로 벌레는 10 + 17 - 1 = 26 개 타일을 지나감.

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