AMC 10 · 2019 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

prime-factorizationdivisor-countperfect-squaresexponentsprinciple-of-inclusion-exclusion caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

201 = 3 × 67 이므로 201⁹ = 3⁹ · 67⁹. 201⁹ 의 양의 약수 중 완전제곱수 또는 완전세제곱수(또는 둘 다)의 개수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(나열): 완전제곱수는 짝수 지수, 완전세제곱수는 3 의 배수 지수 — 각각 가능한 a, b 를 나열. 도구 #12(벤): 두 집합은 6 제곱수에서 겹치므로 포함배제 |sq ∪ cu| = |sq| + |cu| - |both|. 도구 #16(관점 바꾸기): "둘 다" 를 빼야 할 겹침으로 잡음. 도구 #3 으로 최종 개수를 선택지와 매칭.

1STEP 1

201 = 3 × 67 (67 은 소수) 이라 201⁹ = 3⁹ · 67⁹, 약수는 0 ≤ a, b ≤ 9 인 3^a · 67^b 꼴.

201⁹ = 3⁹ · 67⁹ → 약수 = 3^a · 67^b, 0 ≤ a, b ≤ 9

2STEP 2

완전제곱수는 지수가 모두 짝수: a, b ∈ {0,2,4,6,8}, 5 × 5 = 25 개.

제곱: a ∈ {0,2,4,6,8}, b ∈ {0,2,4,6,8} → 5 × 5 = 25

3STEP 3

완전세제곱수는 지수가 모두 3 의 배수: a, b ∈ {0,3,6,9}, 4 × 4 = 16 개.

세제곱: a ∈ {0,3,6,9}, b ∈ {0,3,6,9} → 4 × 4 = 16

4STEP 4

둘 다이려면 지수가 모두 6 의 배수: a, b ∈ {0, 6}, 2 × 2 = 4 개 (6 제곱수).

둘 다: a ∈ {0, 6}, b ∈ {0, 6} → 2 × 2 = 4

5STEP 5

포함배제: 합집합 = 제곱수 + 세제곱수 - 겹침 = 25 + 16 - 4 = 37.

|sq ∪ cu| = 25 + 16 - 4 = 37

6STEP 6

37 은 선택지 (C).

37 → (C)

정답

전체 약수는 10 × 10 = 100 개. 완전제곱(25)과 완전세제곱(16)은 그중 작은 부분집합이고 겹치는 6 제곱수는 단 4 개. 합집합은 25 와 25 + 16 = 41 사이, 겹침이 작으니 41 에 가깝게 — 37 은 그 띠에 정확히 들어옴.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 지수와 최소공배수만 알면 풀 수 있어요! 201⁹ = 3⁹ · 67⁹ 이라 약수는 3^a · 67^b. 제곱수는 짝수 지수 (5 × 5 = 25), 세제곱수는 3 의 배수 지수 (4 × 4 = 16), 둘 다는 6 의 배수 지수 (2 × 2 = 4). 포함배제: 25 + 16 - 4 = 37, 답 (C).

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