AMC 10 · 2019 · #12

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangeweighted-averagepattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

2019 년의 매 날짜를 "일" 숫자만 적으면 1, 2, …, 28 은 각각 12 번(모든 달에 있음), 29, 30 은 각각 11 번(2월 제외), 31 은 7 번(31일이 있는 7개 달) 나옴. 평균 μ, 중앙값 M, 그리고 최빈값들의 중앙값 d 의 대소 관계를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\mu < d < M$

(B)

$M < d < \mu$

(C)

$d = M = \mu$

(D)

$d < M < \mu$

(E)

$d < \mu < M$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(나열): 각 값과 도수를 표로 만들면 중앙값 위치와 최빈값 집합을 바로 읽음. 도구 #15(다르게 정리): 누적도수를 옆에 적어 두면 183 번째 항목이 어느 값에 떨어지는지 한 줄 스캔으로 끝. 평균은 "낮게 표본된" 29, 30, 31 때문에 중앙값보다 작아지고, 최빈값들의 중앙값 14.5 보다는 커지는 것을 비교 추론. 도구 #3 으로 네 오답 제거.

1STEP 1

도수표: 1~28 은 각 12 번, 29·30 은 11 번, 31 은 7 번 — 합계 365 로 2019 년 날짜 수와 일치.

12 · 28 + 11 · 2 + 7 = 336 + 22 + 7 = 365

2STEP 2

최빈값은 도수 12 로 최다인 값들 — 곧 1~28. 짝수 개(28 개)라 d = $\frac{14+15}{2}$ = 14.5.

최빈값 = {1, 2, …, 28}, d =

\frac{14 + 15}{2}

= 14.5

3STEP 3

중앙 위치 183 번째. 15 까지 누적 180, 16 은 181~192 자리라 183 번째는 16 — M = 16.

12 · 15 = 180 ＜ 183 ≤ 192 = 12 · 16 → M = 16

4STEP 4

1~31 이 같은 횟수라면 평균은 16 = M; 실제로는 29, 30, 31 이 모자라 평균이 내려가므로 μ ＜ 16.

x(1, …, 31) = 16, 큰 값 표본 부족 → μ ＜ 16 = M

5STEP 5

1~28 만의 평균이 14.5 = d. 실제 자료엔 29·30·31 이 더 얹혀 모두 14.5 보다 크므로 평균이 올라 μ ＞ 14.5.

x(1, …, 28) = 14.5, 추가된 29, 30, 31 ＞ 14.5 → μ ＞ d = 14.5

6STEP 6

이으면 d = 14.5 ＜ μ ＜ 16 = M, 곧 d ＜ μ ＜ M — 선택지 (E). 나머지 넷은 자료와 모순.

d = 14.5 ＜ μ ＜ 16 = M → (E)

정답

d ＜ μ ＜ M

직접 계산으로 확인. 총합 = 12 ·

\frac{28 · 29}{2}

+ 11 · 29 + 11 · 30 + 7 · 31 = 12 · 406 + 319 + 330 + 217 = 4872 + 866 = 5738, 따라서 μ =

\frac{5738}{365}

≈ 15.72. 14.5 ＜ 15.72 ＜ 16 — 정확히 d ＜ μ ＜ M.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 평균·중앙값·최빈값만 알면 풀 수 있어요! 1~~28 은 모두 12 번씩 나타나 함께 최빈값 — 그들의 중앙값 d = $\frac{14 + 15}{2}$ = 14.5. 정렬한 365 개의 183 번째는 16 자리에 떨어져 M = 16. 1~~31 이 모두 같다면 평균도 16 이지만 29, 30, 31 이 모자라 평균은 16 아래(≈ 15.72). 결국 d ＜ μ ＜ M, 답 (E).

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