AMC 10 · 2019 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

inscribed-angleisosceles-triangleangle-sum-trianglearc-measure identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: inscribed-angleisosceles-triangleangle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

△ ABC 는 BC = AC 인 이등변삼각형이고 ∠ ACB = 40^°. BC 를 지름으로 하는 원이 AC 와 만나는 다른 점을 D, AB 와 만나는 다른 점을 E 라 하자. 사각형 BCDE 의 두 대각선 BD, CE 의 교점을 F 라 할 때 ∠ BFC 의 크기는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

105

(D)

110

(E)

120

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 지름 BC 인 원과 △ ABC 를 그리고 탈레스로 D, E 에서의 직각을 표시. 도구 #7(쪼개기): 작은 삼각형 셋을 차례로 풀어 각만 추적 — △ ABC 에서 밑각, △ BEC(직각 E)에서 ∠ BCE, △ BDC(직각 D)에서 ∠ DBC, 마지막에 △ BFC 에서 내각의 합. 도구 #3 으로 110^° 매칭.

1STEP 1

△ ABC 와 지름 BC 인 원을 그리고, AC 위 D, AB 위 E, 대각선 BD·CE 의 교점 F 를 표시.

BC 가 지름; D ∈ AC, E ∈ AB

2STEP 2

BC = AC 이므로 ∠ BAC = ∠ ABC, 내각 합에서 180^° - 40^° = 140^°, 밑각은 각각 70^°.

∠ BAC = ∠ ABC =

\frac{180^° - 40^°}{2}

= 70^°

3STEP 3

E 에서 탈레스로 ∠ BEC = 90^°, △ BEC 에서 ∠ BCE = 180^° - 90^° - 70^° = 20^°.

∠ BEC = 90^°, ∠ BCE = 180^° - 90^° - 70^° = 20^°

4STEP 4

D 에서 탈레스로 ∠ BDC = 90^°, △ BDC 에서 ∠ DBC = 180^° - 90^° - 40^° = 50^°.

∠ BDC = 90^°, ∠ DBC = 180^° - 90^° - 40^° = 50^°

5STEP 5

△ BFC 에서 ∠ FBC = 50^°, ∠ FCB = 20^° 이므로 ∠ BFC = 180^° - 50^° - 20^° = 110^°.

∠ BFC = 180^° - 50^° - 20^° = 110^°

6STEP 6

110^° 을 선택지와 매칭: (D).

110^° → (D)

정답

110

교점 F 주위에서 맞꼭지각 관계로 네 각은 110^°, 70^°, 110^°, 70^° 가 되어 합이 360^° — 대각선이 안에서 만나는 볼록사각형의 전형적인 모습. 110^° 는 둔각이고, 그림에서도 F 가 A 보다 약간 아래에 위치하므로 ∠ BFC 가 90^° 보다 크게 벌어진다는 시각적 직관과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 각 추적만 알면 풀 수 있어요! BC 가 지름이라 ∠ BEC 와 ∠ BDC 는 각각 90^° (탈레스). 이등변삼각형의 밑각은 70^°. 두 직각삼각형에서 ∠ BCE = 20^°, ∠ DBC = 50^° 가 나옴. 마지막으로 △ BFC 에서 180^° - 50^° - 20^° = 110^°, 답 (D).

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