AMC 10 · 2019 · #18
학년 8 rate-ratio base-conversionsequences-geometriclinear-diophantinedigit-constraints convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: base-conversionsequences-geometric
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 진수 k 에서 을 k 진법 "소수" 로 적으면 순환소수 0.232323…_k 가 됩니다. 양의 정수 k 를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
13
(B)
14
(C)
15
(D)
16
(E)
17
AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 가능성 지우기
도구 #3 (지우기): k 의 후보는 단 5 개 — 각각 대입해 과 비교하면 됩니다. 도구 #6 (추측하고 확인): 각 선택지를 대입해 한 번의 산수 검증. 도구 #13 (대수): 등식 = 을 세워 검사 대상 식을 명확히 합니다.
1STEP 1
순환하는 k 진법 두 자리는 등비급수를 이루어 로 합해집니다.
0.23_k =
10 진법 0.ab = 와 같은 원리 — 10 → k, 99 → k²-1.
8.EE.A.1Convert To Algebra2STEP 2
과 같다 놓고 교차곱해 분수를 없애면 이차식 7k² - 102k - 160 = 0 이 됩니다.
7k² - 102k - 160 = 0
분수를 없애려 교차곱한 뒤 한 변에 모음.
8.EE.C.7Convert To Algebra3STEP 3
각 선택지를 이차식에 대입하면 k = 16 만 0 이 됩니다 (1792 - 1632 - 160 = 0).
k = 16: 7(256) - 102(16) - 160 = 1792 - 1632 - 160 = 0 ✓
다섯 후보, 한 식, 각각 대입 한 번 — 직접 지우기.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities4STEP 4
직접 확인: 16 진법 0.23 은 로, 5 로 약분하면 — 답 확정.
= → (D) 16
를 gcd = 5 로 약분 — 정확히 .
4.NF.A.1Guess And Check정답
16
≈ 0.1373. 16 진법 0.23₁6 = ≈ 0.1373 — 일치. 다른 선택지는 k = 13 → , k = 14 → , k = 15 → , k = 17 → — 모두 과 다름. (D) 만 통과.
💡핵심 정리
이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 방정식 풀이만 알면 풀 수 있어요 — k 진법 순환을 로 바꾸고 과 같다 놓고 후보를 대입하면 k = 16. 답은 (D).