AMC 10 · 2019 · #19

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-substitutiondifference-of-squaresperfect-squarespolynomial-factoring identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: polynomial-substitutiondifference-of-squares

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 x 에 대해 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019 가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2017

(B)

2018

(C)

2019

(D)

2020

(E)

2021

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15 (다르게 정리): 네 인수가 복잡해 보이지만 (x+1)(x+4) 와 (x+2)(x+3) 로 묶으면 두 곱 모두 x² + 5x + 상수 형태 — 같은 "숨은 양" 이 나타남. 도구 #7 (쪼개기): 그 양을 u 로 치환해 4차식을 2차식 형태로 축소. 도구 #13 (대수): 완전제곱 + 상수로 마무리.

1STEP 1

(x+1)(x+4) = x² + 5x + 4, (x+2)(x+3) = x² + 5x + 6 — 둘 다 같은 덩어리 x² + 5x 를 품음.

(x+1)(x+4) = x² + 5x + 4, (x+2)(x+3) = x² + 5x + 6

2STEP 2

u = x² + 5x + 5 (4 와 6 의 중점) 로 치환하면 곱은 (u-1)(u+1) = u² - 1.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (u-1)(u+1) = u² - 1

3STEP 3

2019 를 더하면 u² - 1 + 2019 = u² + 2018. u² ≥ 0 이므로 최솟값은 u = 0 일 때 2018.

u² + 2018 ≥ 2018, 등호는 u = 0

4STEP 4

u = 0 이 가능한지 확인: x² + 5x + 5 = 0 의 실수 근 x = $\frac{-5 ± √5}{2}$ 존재 → 2018 달성. 답 (B).

x =

\frac{-5 ± √(5)}{2}

→ min = 2018 → (B)

정답

2018

대칭축 x = -2.5 대입: 인수는 -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 곱은 (1.5 · 0.5)² = 0.5625, 식값 = 2019.5625 — 최솟값 2018 보다 위, 합리적. x ≈ -1.382 대입: 인수가 약 -0.382, 0.618, 1.618, 2.618, 곱 ≈ -1, +2019 → 2018. 일치. (A) 2017 은 u² - 1 + 2019 = u² + 2018 에서 부호 실수로 2017 로 오답하는 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 완전제곱과 치환만 알면 풀 수 있어요 — (x+1)(x+4) 와 (x+2)(x+3) 를 묶고 u = x² + 5x + 5 로 치환하면 u² + 2018 이 되어 u² ≥ 0 이므로 최솟값 2018. 답은 (B).

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