AMC 10 · 2019 · #2

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

factorialprime-factorizationlegendre-formuladigit-decompositionplace-value identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: factorialprime-factorization

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

20! - 15! 의 백의 자리 숫자를 구하세요. 여기서 n! = 1 · 2 · 3 … n 입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 20!, 15! 을 직접 계산할 수 없으므로 더 작은 질문으로 바꿉니다 — '끝 세 자리는 무엇?' 어떤 수의 백의 자리는 1000 으로 나눈 나머지에 의해 결정됩니다. 도구 #5(패턴 찾기): 각 계승 안에 들어 있는 10 의 개수를 셉니다. 2 와 5 가 한 쌍씩 짝지을 때마다 끝의 0 이 하나씩 생겨요. 도구 #16(관점 바꾸기): '백의 자리는 무엇?' 대신 '20! - 15! 이 1000 의 배수인가?' 를 묻습니다 — 그렇다면 백의 자리는 자동으로 0.

1STEP 1

15! 안의 5, 10, 15 가 5 를 셋 내놓고 2 는 넉넉하니 1000 ∣ 15!.

15! ⊇ 5 · 10 · 15 → 5³ ∣ 15!, 2³ ∣ 15! 자명 → 1000 ∣ 15!

2STEP 2

20! 도 5, 10, 15, 20 에서 5 가 넷 — 마찬가지로 1000 ∣ 20!.

20! ⊇ 5 · 10 · 15 · 20 → 5⁴ ∣ 20!, 2⁴ ∣ 20! 자명 → 1000 ∣ 20!

3STEP 3

둘 다 1000 의 배수라 20! - 15! 도 끝이 000 — 백의 자리는 0.

1000 ∣ 20!, 1000 ∣ 15! → 1000 ∣ (20! - 15!), 끝 세 자리 000 → (A) 0

4STEP 4

점검: 4! - 2! = 22 는 공통 0 이 없지만, 20! 과 15! 은 0 을 셋 공유 — 끝 세 자리를 고정하기 충분.

작은 검증: 4! - 2! = 22 (공통 0 없음). 20! - 15! 의 경우 공통 끝 0 가 ≥ 3 → 끝 세 자리 000.

정답

1000 의 배수는 끝 세 자리가 모두 0 — 즉 백·십·일의 자리가 전부 0. 20! - 15! 이 1000 의 배수이므로 백의 자리는 강제적으로 0. 나머지 (B) 1, (C) 2, (D) 4, (E) 5 는 1000 으로 나눈 나머지가 0 이 아닌 경우인데 우리 결과는 그렇지 않아 모두 탈락.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "자리값" 만 알면 풀 수 있어요 — 20! 도 15! 도 끝에 0 이 세 개 이상이니 차도 끝에 000, 백의 자리는 0 이에요!

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