AMC 10 · 2019 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

pythagorean-theoremarea-trianglesisosceles-triangleinteger-pythagorean-triplesspatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름 6, 중심 O 인 구가 변 길이 15, 15, 24 인 삼각형에 닿아 있어요 — 삼각형의 세 변이 모두 구에 접합니다. O 에서 삼각형이 놓인 평면까지의 거리는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{3}$

(B)

(C)

$3\sqrt{2}$

(D)

$2\sqrt{5}$

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) 평면 안 15-15-24 삼각형의 내접원 반지름 구하기, (나) 3차원 직각삼각형으로 d 구하기 — 두 단계로 분리. 도구 #1(그림): 삼각형 평면도와 구·평면 옆면도를 그리면 R² = r² + d² 관계가 한눈에. 도구 #9(더 쉬운 문제): 15-15-24 를 대칭축으로 자르면 9-12-15 직각삼각형 두 개 — 3-4-5 의 비율 — 넓이가 즉시 나옴.

1STEP 1

15-15-24 이등변삼각형에 수선을 내리면 밑변이 12·12 로 갈라져 높이는 h = 9 (9-12-15 삼각형).

h = √(15² - 12²) = √(81) = 9

2STEP 2

넓이 = ½·24·9 = 108, 반둘레 s = $\frac{15+15+24}{2}$ = 27.

A = 108, s = 27

3STEP 3

세 접점은 구·평면 단면원 위에 있고 그 원이 곧 내접원이라 r = $\frac{A}{s}$ = $\frac{108}{27}$ = 4.

r =

\frac{A}{s}

\frac{108}{27}

= 4

4STEP 4

옆에서 보면 O, 평면 발 F, 접점 T 가 직각삼각형: OT = R = 6, FT = r = 4, ∠OFT = 90°.

OT = 6, FT = 4, ∠ OFT = 90°

5STEP 5

OFT 에 피타고라스: d² = R² - r² = 36 - 16 = 20, d = √(20) = 2√(5) — 정답 (D).

d = √(R² - r²) = √(36 - 16) = 2√(5)

정답

2√(5)

크기 점검. 2√(5) ≈ 4.47 로 구 반지름 6 보다 작음 — 그래야 평면이 구를 가로질러 단면원이 생기고 접점이 존재. r = 4 ＜ R = 6 도 단면원이 대원보다 작다는 자연스러운 사실. 끝으로 r² + d² = 16 + 20 = 36 = R² 가 직각관계를 직접 확인.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 피타고라스 정리(두 번 — 삼각형 높이와 구 반지름·내접원 반지름·거리 관계)와 내접원 공식 r = $\frac{A}{s}$ 만 있으면 풀려요 — d = √(6² - 4²) = 2√(5).

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