AMC 10 · 2019 · #23

학년 6 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

triangular-numberssequences-arithmeticpattern-recognitionsystematic-enumeration pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: triangular-numberssequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 아이 Tadd, Todd, Tucker 가 순서대로 세요. 차례 k 에는 k 개 연속 정수 — Tadd: 1, Todd: 2, 3, Tucker: 4, 5, 6, Tadd: 7, 8, 9, 10, … 이렇게 계속. Tadd 가 말하는 2019 번째 수는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5743

(B)

5885

(C)

5979

(D)

6001

(E)

6011

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) Tadd 의 2019 번째 수가 속한 라운드 찾기, (나) 그 라운드가 전체 몇 번째 차례인지, (다) 차례 안 위치를 전체 정수로 환산. 도구 #5(패턴): Tadd 의 m 라운드 차례 길이 3m - 2 (등차), 누적 $\frac{m(3m-1)}{2}$ . 도구 #9(더 쉬운 문제): 작은 라운드 (m=1, 2, 3) 로 패턴과 위치 규칙 확인. 도구 #6(추측·확인): m = 36, 37, 38 시험해 누적이 2019 를 넘는 최소 m 찾기.

1STEP 1

Tadd 의 라운드별 개수는 등차로 늘어요 (1, 4, 7, … 개), 라운드 m 은 3m - 2 개.

라운드 m 개수 = 3m - 2

2STEP 2

라운드 개수를 더하면, n 라운드까지 누적은 등차수열 합 $\frac{n(3n - 1)}{2}$ .

T(n) =

\frac{n(3n - 1)}{2}

3STEP 3

라운드를 시험하면 T(36) = 1926 ＜ 2019 ≤ 2035 = T(37), Tadd 의 2019 번째 수는 라운드 37 안.

T(36) = 1926, T(37) = 2035

4STEP 4

이전 라운드를 빼면 2019 - 1926 = 93, 라운드 37 차례의 93 번째 수.

2019 - 1926 = 93

5STEP 5

Tadd 의 m 라운드 차례는 전체 차례 3m - 2, 라운드 37 은 전체 차례 109.

차례 = 3 · 37 - 2 = 109

6STEP 6

차례 108 까지 누적은 $\frac{108 · 109}{2}$ = 5886, 차례 109 는 5887 부터.

\frac{108 · 109}{2}

= 5886 → 차례 109 시작 5887

7STEP 7

차례 109 의 93 번째 수는 5887 + (93 - 1) = 5979 — Tadd 의 2019 번째 수. 정답 (C).

5887 + 92 = 5979

정답

5979

누적 점검. T(37) - T(36) = 2035 - 1926 = 109, Tadd 의 라운드 37 개수 = 3 · 37 - 2 = 109 와 일치. ✓ 차례 109 길이는 109 개 (차례 k 는 k 개), 따라서 차례 109 안 위치 1 – 109 가 전체 정수 5887 – 5995. 위치 93 은 5979 로 그 범위 안. 10,000 한도 아래임도 확인. 끝자리 검증: 5887 + 92 = 5979, 끝자리 9 — 선택지 중 (C) 5979 만 9 로 끝남.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 6학년 식 만들기와 여러 자리 셈만 있으면 풀려요 — Tadd 의 라운드 m 개수 3m-2 의 누적 $\frac{m(3m-1)}{2}$ ; 라운드 37 에서 위치 93 도달; 차례 109 시작 5887; 답 = 5887 + 92 = 5979.

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