AMC 10 · 2019 · #24

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

vieta-formulaspolynomial-rootssymmetric-polynomialspolynomial-factoringpolynomial-substitution identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulaspolynomial-roots

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

p, q, r 는 x³ - 22x² + 80x - 67 의 서로 다른 세 근이에요. 모든 유효한 s 에서

\frac{1}{s³ - 22s² + 80s - 67}

\frac{A}{s-p}

\frac{B}{s-q}

\frac{C}{s-r}

가 되는 실수 A, B, C 가 있어요.

\frac{1}{A}

\frac{1}{B}

\frac{1}{C}

를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

243

(B)

244

(C)

245

(D)

246

(E)

247

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) A, B, C 각각의 닫힌 식 찾기, (나) $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ 를 p, q, r 의 대칭식으로 정리, (다) 비에타로 평가. 도구 #11(거꾸로 풀기): (s-p)(s-q)(s-r) 로 곱해 분수 제거 후 s = p 대입해 A 분리. 도구 #13(대수): 기호 조작 필수. 도구 #9(더 쉬운 문제): p² + q² + r² = (p+q+r)² - 2(pq+qr+rp) 라는 작은 항등식 활용.

1STEP 1

양변에 (s-p)(s-q)(s-r) 을 곱해 분모를 없애면 모든 s 에서 성립하는 다항식 등식이 나와요.

1 = A(s-q)(s-r) + B(s-p)(s-r) + C(s-p)(s-q)

2STEP 2

s = p 를 대입하면 나머지 두 항이 사라져 A = $\frac{1}{(p-q)(p-r)}$ , 대칭으로 B, C 도 나와요.

A =

\frac{1}{(p - q)(p - r)}

, B =

\frac{1}{(q - p)(q - r)}

, C =

\frac{1}{(r - p)(r - q)}

3STEP 3

역수를 취해 더하면 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ = (p-q)(p-r) + (q-p)(q-r) + (r-p)(r-q).

\frac{1}{A}

\frac{1}{B}

\frac{1}{C}

= (p-q)(p-r) + (q-p)(q-r) + (r-p)(r-q)

4STEP 4

각 곱을 전개해 더하면 교차항이 상쇄되어 (p²+q²+r²) - (pq+qr+rp) 만 남아요.

Σ = (p² + q² + r²) - (pq + qr + rp)

5STEP 5

p²+q²+r² = (p+q+r)² - 2(pq+qr+rp), 비에타 값 22 와 80 으로 484 - 160 = 324.

p² + q² + r² = 484 - 160 = 324

6STEP 6

빼면 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ = 324 - 80 = 244, 정답 (B).

324 - 80 = 244

정답

244

삼차 x³ + bx² + cx + d = 0 (여기서 b = -22, c = 80, d = -67) 의 비에타: Σ p = -b = 22, Σ pq = c = 80, Π p = -d = 67 — 모두 양수, 서로 다른 세 실근과 일관. 원 다항식 상수항 -67 은 답에 직접 쓰이지 않음 (비에타 pqr = 67 은 등장만 함, 답은 처음 두 기본 대칭합에만 의존). 324 - 80 = 244 가 좁은 범위 243 – 247 한가운데, (B) 만 일치. 항 정리 점검: (p-q)(p-r) + (q-p)(q-r) + (r-p)(r-q) 에서 각 p² 가 한 번씩, 각 pq 가 순계수 -1 로 나타나 공식 Σ p_i² - Σ_i ＜ j p_ip_j 확인.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 방정식 정리 기법과 7학년 식 전개만 있으면 풀려요 — 곱셈으로 분모 제거, s = p 대입해 A = $\frac{1}{(p-q)(p-r)}$ 얻기, 세 역수 합 = (p² + q² + r²) - (pq + qr + rp) = 324 - 80 = 244.

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