AMC 10 · 2019 · #5

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-arithmeticsymmetry-argumentpattern-recognitionmean-median-mode-range pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

합이 정확히 45 가 되는 연속한 정수의 개수 중 최댓값을 구하세요. 정수는 양수·음수·0 모두 허용됩니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

120

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 더 작은 목표 합 5 부터 시도. 음수를 끼워 대부분 항을 상쇄하는 요령이 보입니다 — -4, -3, …, 4, 5 의 합이 5, 항 수는 10. 도구 #1(그림): 수직선 위에 -k 부터 +k 까지의 대칭 묶음은 합이 0, 거기에 꼬리 {k+1, …, 45} 가 45 를 책임지는 그림. 도구 #5(패턴 찾기): 작은 경우의 패턴을 일반화 — 합 S 이면 -(S - 1) 부터 S 까지, 2S 개. S = 45 면 90. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지는 9, 25, 45, 90, 120. 45 이하는 음수를 쓰지 않은 것, 120 은 상한 90 을 넘어 불가능.

1STEP 1

워밍업: -4, …, 4, 5 는 (-k, k) 짝이 모두 상쇄돼 합이 5 — 항 수는 10 개.

(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5, 항 수 10

2STEP 2

일반화: 양의 목표 합 S 에 대해 -(S-1) 부터 S 까지면 짝이 상쇄돼 합은 S, 항 수는 2S.

정수 -(S-1), -(S-2), …, -1, 0, 1, …, S - 1, S — 항 수 = 2S, 합 = S

3STEP 3

S = 45 에 적용: -44 부터 45 까지면 짝이 모두 상쇄돼 합은 45, 항 수는 45 - (-44) + 1 = 90.

수열 -44, -43, …, 44, 45; 항 수 = 45 - (-44) + 1 = 90; 합 = 45 → (D)

4STEP 4

최댓값 확인: a 에서 n 개 연속 정수의 합은 n(2a + n - 1) = 90, 따라서 n 은 90 의 약수 — 90 자신도 가능.

n ( 2a + n - 1 ) = 90 → n ∣ 90; 선택지 중 가장 큰 약수는 90 → (D)

5STEP 5

나머지 제거: 9 와 45 는 90 의 약수지만 더 작고, 25 와 120 은 90 의 약수가 아니라 불가능 — 최댓값은 90.

9, 25, 45, 90 ∣ 90 ? 9 ✓, 25 ×, 45 ✓, 90 ✓; 120 × → (D)

정답

직접 확인. 묶음 -44, -43, …, 44, 45 는 90 개. 음수마다 양수와 짝짓기: (-44) + 44 = 0, (-43) + 43 = 0, …, (-1) + 1 = 0 — 44 번 상쇄, 0 과 45 만 남음. 합 = 0 + 45 = 45 ✓. 90 개의 연속 정수로 합 45 가 실제로 가능 — (D) 달성 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "수직선 위의 음수" 만 알면 풀 수 있어요 — -44 부터 45 까지 모으면 (-k, k) 짝이 모두 상쇄되고 45 만 남아서 항 수는 90 이에요!

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