경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2019A · #6
학년 4 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
다섯 사각형을 직접 그리고(도구 #1), 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓일 수 있는지 확인. 도구 #7로 전체 문제를 다섯 개의 작은 예/아니오 질문으로 쪼갠 뒤, 도구 #3으로 예 개수를 세어 답을 결정.
원 위의 점으로 바꿔 보기
관점 바꾸기: 네 꼭짓점에서 같은 거리인 점이 있다 = 네 꼭짓점이 한 원 위. 즉 어떤 사각형이 원에 내접하는가?
한 점에서 같은 거리 = 그 점을 중심으로 하는 한 원.
한 점에서 거리가 모두 같다는 것은 꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 있다는 뜻이다.
▸ 왜?
한 점에서 일정한 거리에 있는 모든 점은 하나의 원 위에 있으며, 그 거리가 반지름이다.
▸ 왜?
두 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점은 그 사이를 반으로 자르는 접는 선 위에 있으므로, 그런 중심은 그 선들이 만나는 곳이다.
정사각형 확인하기
정사각형: 두 대각선이 중심에서 만나고, 그 중심은 네 꼭짓점에서 모두 같은 거리. 가능.
정사각형의 중심은 네 꼭짓점까지 모두 같은 거리.
3.G.A.1Draw A Diagram직사각형 확인하기
직사각형: 대각선이 길이도 같고 서로 이등분 → 교점이 네 꼭짓점에서 모두 같은 거리. 가능.
길이 같은 대각선이 서로 이등분 — 그 교점이 균등 중심.
3.G.A.1Draw A Diagram마름모 확인하기
마름모(정사각형 아님): 대각선이 수직이지만 길이가 달라, 교점이 두 꼭짓점엔 가깝고 나머지 둘엔 멀다. 불가능.
기울어진 마름모는 긴축·짧은축이 있어 균등한 점이 없음.
3.G.A.1Draw A Diagram평행사변형 확인하기
기운 평행사변형: 대각선 길이가 달라 어떤 점도 네 꼭짓점에 똑같이 닿지 못함. 불가능.
기울어지면 균형이 깨져 균등한 한 점이 없음.
3.G.A.1Draw A Diagram등변사다리꼴 확인하기
등변사다리꼴: 좌우 대칭이라 대칭축 위 점을 위아래로 옮겨 위·아래 꼭짓점 거리를 맞출 수 있음. 가능.
좌우 대칭이 있어 대칭축 위에서 위·아래 균형 맞추는 점 찾을 수 있음.
4.G.A.3Draw A Diagram되는 도형 세기
가능한 것은 정사각형·직사각형·등변사다리꼴 — 5 개 중 3 개.
예 표시한 사각형 개수 세기.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities이 AMC 10 문제는 사실 4학년 도형 성질만 알면 풀 수 있어요 — 네 꼭짓점에서 같은 거리인 한 점이 있다는 건 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓인다는 뜻. 정사각형·직사각형·등변사다리꼴은 통과, 마름모·기울어진 평행사변형은 탈락. 답은 3.
- 원 위의 점으로 바꿔 보기
- 정사각형 확인하기
- 직사각형 확인하기
- 마름모 확인하기
- 평행사변형 확인하기
- 등변사다리꼴 확인하기
- 되는 도형 세기
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