경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #8
학년 4 number-theorylogic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
네 문장 중 거짓이 정확히 하나라는 조건은 도구 #3(가능성 지우기)에 딱 들어맞습니다 — 각 문장을 "거짓 후보" 로 두고 모순이 생기는 경우를 지워 나가면 됩니다. 두 자리 수라는 조건 아래에서 (1) "소수" 는 (2) "짝수"와 충돌하고(짝수인 소수는 2 뿐인데 한 자리), (3) "7의 배수" 와도 충돌합니다(7의 배수인 소수는 7 뿐인데 한 자리). 따라서 거짓이 될 수 있는 것은 (1) 뿐이고, (2)·(3)·(4)는 모두 참이 됩니다. 그 다음은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 차례 — lcm(2,7) = 14의 두 자리 배수를 순서대로 적은 뒤 9 라는 자릿수를 가진 수만 남기면 됩니다.
첫 번째 모순 찾기
소수이면서 짝수인 두 자리 수는 2뿐인데 2는 한 자리라, (1)과 (2)는 동시에 참일 수 없다.
짝수인 소수가 2 뿐이라는 사실은 4학년 "약수·배수 인식, 소수·합성수 판별" 의 기본 사용 사례입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities두 번째 모순 찾기
마찬가지로 7의 배수이면서 소수인 수는 7뿐이고 한 자리라, (1)과 (3)도 동시에 참일 수 없다.
7의 배수가 소수가 되는 경우를 따지는 것도 4학년 약수·배수와 소수 판별 그대로입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities거짓인 설명 찾아내기
(1)이 참이면 (2)와 (3)이 모두 거짓이 되어 조건 위반이라, 거짓인 문장은 (1) 이고 (2)·(3)·(4)는 참이다.
"(1)이 참" 이라는 가능성을 지우면 "(1)이 거짓" 만 남는, 유한한 경우의 가능성 지우기 그대로입니다.
거짓인 진술은 반드시 (1) "소수이다" 하나여야 한다; 따라서 진술 (2), (3), (4)는 모두 참이다.
▸ 왜?
네 진술 중 거짓은 오직 하나만 허용된다. 만약 (1) '소수이다'가 참이라면, 다른 두 진술 — '짝수이다'와 '7로 나누어떨어진다' — 을 동시에 거짓으로 만들어 거짓이 하나 초과가 된다. 그래서 진술 (1) 자신이 거짓인 진술이어야 하고, (2), (3), (4)는 참으로 남는다.
▸ 왜?
두 자리 수는 소수이면서 동시에 짝수일 수 없으므로, '소수이다'가 참이면 '짝수이다'는 거짓이 된다. 유일한 짝수 소수는 2이다: 소수의 소인수분해는 자기 자신뿐이므로, 2가 그것을 나눈다면 2가 바로 그 유일한 소인수여야 하고, 그러면 그 수는 2 — 한 자리 수 — 가 될 수밖에 없다.
▸ 왜?
두 자리 수는 소수이면서 동시에 7로 나누어떨어질 수 없으므로, '소수이다'가 참이면 '7로 나누어떨어진다'도 거짓이 된다. 7로 나누어떨어지는 유일한 소수는 7이다: 소수의 소인수분해는 자기 자신뿐이므로, 7이 그것을 나눈다면 7이 바로 그 유일한 소인수여야 하고, 그러면 그 수는 7 — 한 자리 수 — 가 될 수밖에 없다.
14의 배수 나열하기
짝수이고 7의 배수이면 lcm(2,7) = 14의 배수라, 두 자리 배수를 나열하면 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98.
10~99 범위에서 14의 배수를 적는 것은 4학년 "배수 인식" 활동입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List숫자 9 단서 적용하기
그 목록에서 9가 든 수는 98 뿐이라 집 번호는 98, 일의 자리는 8 — 선택지 (D).
두 자리 수에서 일의 자리(낱개) 숫자를 읽어내는 것은 1학년 자릿값 표준 그대로입니다.
1.NBT.B.2Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수와 배수" 개념만 알면 풀 수 있어요!
- 첫 번째 모순 찾기
- 두 번째 모순 찾기
- 거짓인 설명 찾아내기
- 14의 배수 나열하기
- 숫자 9 단서 적용하기
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