AMC 10 · 2019 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-trianglesperimeterpolygon-inequality identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면에서 두 점 A, B 사이 거리가 10. 둘레가 정확히 50, 넓이가 정확히 100 인 삼각형 △ ABC 를 이루는 점 C 의 개수를 구함.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

AB 를 좌표축 위에 놓아 그림을 구체화 (도구 #1 + #9). 조건을 (a) 넓이 → C 의 AB 로부터 높이, (b) 둘레 → 두 빗변 합 으로 나눠 (도구 #7), 가장 "가능성이 높은" C 를 먼저 시험 (도구 #6). 그것조차 실패하면 어떤 C 도 안 됨 — 도구 #3 으로 (A) 확정.

1STEP 1

A = (-5, 0), B = (5, 0) 로 두면 AB 가 x 축 위, C = (x, y).

A = (-5, 0), B = (5, 0), C = (x, y)

2STEP 2

넓이: AB (밑변 10) 로 넓이 = 5|y| = 100, 따라서 |y| = 20 — C 는 y = ±20 위.

5|y| = 100 → |y| = 20

3STEP 3

둘레: 10 + |AC| + |BC| = 50, 따라서 |AC| + |BC| = 40 — 두 빗변 합이 40.

|AC| + |BC| = 50 - 10 = 40

4STEP 4

대칭점 C = (0, 20) 시험: 피타고라스로 |AC| = |BC| = √(425) = 5√(17), 합은 10√(17).

|AC| + |BC| = 10√(17)

5STEP 5

어림: √(17) ≈ 4.123, 10√(17) ≈ 41.23 — 이미 40 보다 큼.

10√(17) ≈ 41.23 ＞ 40

6STEP 6

A 를 y = 20 에 대칭시켜 보면 C = (0, 20) 이 |AC| + |BC| 의 최소, 어디서든 ≥ 10√(17) ＞ 40.

min_C 위 y=20(|AC|+|BC|) = 10√(17) ＞ 40

7STEP 7

y = -20 위에서도 대칭으로 같은 결론 — 두 조건을 모두 만족하는 C 는 없음, 개수는 0, (A).

유효한 C 개수 = 0 → (A)

정답

직관 검산: 밑변 10, 넓이 100 삼각형은 높이 20 의 매우 길쭉한 모양. 높이 20 에서 양 끝 A, B 까지의 가장 짧은 빗변도 √(5² + 20²) ≈ 20.6 정도, 두 빗변 합이 적어도 ≈ 41.2, 둘레는 적어도 ≈ 51.2 ＞ 50. 여유가 전혀 없음 — 답 (A) 의 0 과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스만 알면 풀 수 있어요 — 넓이 100 이라 C 는 AB 위 (또는 아래) 20 만큼. 가장 가까운 C 의 빗변 합조차 10√(17)≈ 41.2 ＞ 40 이라 둘레 50 은 불가능 — 점 0 개.

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