AMC 10 · 2019 · #12

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

base-conversionplace-valuedigit-sumbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: base-conversionplace-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

2019 보다 작은 양의 정수를 7 진법으로 나타냈을 때, 각 자릿수의 합이 가질 수 있는 가장 큰 값은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(쉬운 문제): 먼저 2018 (허용되는 최댓값)을 7 진법으로 변환해 자릿수 예산을 파악. 도구 #6(추측·확인): 자릿수 합의 주인공은 모두 6 인 666₇ 이므로 그 앞에 천의 자릿수를 0, 1, 2, … 로 키워 가며 2018 을 넘기 직전까지 시도. 도구 #3 으로 22 가 선택지 (C) 와 일치함을 확인. 대수는 필요 없고 진법 + 작은 방향 탐색이면 충분.

1STEP 1

상한 2018 을 7 로 반복해서 나눠 칠진법으로 바꾸면 자릿수 한계가 보인다: 2018 = 5612₇.

2018 = 5 · 7³ + 6 · 7² + 1 · 7 + 2 = 5612₇

2STEP 2

다섯째 자리는 ≥ 7⁴ = 2401 ＞ 2018 이라 n 은 최대 4 자리; 상한 24 는 6666₇ = 2400 ＞ 2018 이라 도달 불가.

6666₇ = 6(343+49+7+1) = 6 · 400 = 2400 ＞ 2018

3STEP 3

아래 세 자리를 666₇(자릿수 합 18) 으로 고정하면 천의 자릿수 t 에서 수는 343t + 342.

t · 343 + 342 ＜ 2019 → t ＜

\frac{2019 - 342}{343}

\frac{1677}{343}

≈ 4.89

4STEP 4

t ＜ 4.89 인 가장 큰 정수는 t = 4, 그 수 4666₇ = 1714 ＜ 2019, 자릿수 합 4 + 6 + 6 + 6 = 22.

4666₇ = 1714 ＜ 2019, 4 + 6 + 6 + 6 = 22

5STEP 5

t = 5 면 아래가 작게 강제돼 5612₇ = 2018 뿐, 자릿수 합 5 + 6 + 1 + 2 = 14 ＜ 22.

5666₇ = 2057 ＞ 2018; 5612₇ = 2018, 자릿수 합 5+6+1+2 = 14

6STEP 6

22 를 선택지와 매칭: (C).

22 → (C)

정답

4666₇ 검산: 4 · 343 + 6 · 49 + 6 · 7 + 6 = 1372 + 294 + 42 + 6 = 1714 ＜ 2019 ✓, 자릿수 합 22. 절대 상한 4 · 6 = 24 는 6666₇ = 2400 ＞ 2018 이라 도달 불가; 자릿수 합 23 도 5,6,6,6 같은 조합이 필요한데 가장 작은 5666₇ = 2057 ＞ 2018 이라 탈락. 따라서 22 가 진짜 최댓값 — 선택지 (C) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 자릿값 사고만 알면 풀 수 있어요! 7 진법 자릿수는 최대 6, 2018 = 5612₇ 이라 4 자리까지 허용. 아래 세 자리에 6 을 꽉 채우고 위에 합법인 가장 큰 자릿수 4 를 얹은 4666₇ = 1714 가 정답이고, 자릿수 합 4+6+6+6 = 22, 답 (C).

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