AMC 10 · 2019 · #14

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorialdivisibility-rulesdigit-sumlegendre-formulamodular-arithmetic identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: factorialdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

19! 의 십진 전개가 121,6T5,100,40M,832,H00 일 때, 한 자리 미지 숫자 T, M, H 의 합 T + M + H 를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): 세 미지수를 독립적으로 공략 — (i) 19! 의 끝자리 0 개수로 H 결정, (ii) 9 의 배수 조건(자릿수 합 규칙)으로 T+M 제약, (iii) 11 의 배수 조건(교대합 규칙)으로 M-T 제약. 도구 #8 가 배수 판정 규칙 제공. 도구 #6 으로 남는 두 정수쌍을 확인. 도구 #3 으로 T+M+H = 12 를 선택지 (C) 와 매칭. 19! 을 직접 곱하는 방법도 있지만, 배수 판정이 훨씬 깔끔.

1STEP 1

2 는 충분히 많으니 19! 의 끝자리 0 은 인수 5 에서만 나와 — 5, 10, 15 뿐 — 끝자리 0 이 3 개.

#(끝자리 0) = ⌊

\frac{19}{5}

⌋ = 3

2STEP 2

19! 은 0 이 정확히 세 개로 끝나니 표시된 H00 은 사실 000, 즉 H = 0.

H00 = 000 → H = 0

3STEP 3

9 의 배수 규칙으로 자릿수 합 전체가 9 의 배수 — 알려진 숫자 합이 33 이니 33 + T + M 도 9 의 배수.

자릿수 합 = 33 + T + M ≡ 0 (mod 9)

4STEP 4

33 은 9 로 나눈 나머지가 6 이라 T + M ≡ 3 (mod 9) — 한 자리 두 수라면 T + M 은 3 또는 12.

T + M ∈ {3, 12}

5STEP 5

11 의 배수 규칙으로 자릿수 교대합을 보면 홀수 자리 합은 H + M + 20, 짝수 자리 합은 T + 13.

홀수 자리 합 = H + M + 20, 짝수 자리 합 = T + 13

6STEP 6

H = 0 을 교대합에 넣으면 (M + 20) - (T + 13) = 7 + M - T 가 11 의 배수여야 함.

(0 + M + 20) - (T + 13) = 7 + M - T ≡ 0 (mod 11)

7STEP 7

따라서 M - T ≡ 4 (mod 11); 차 M - T 는 -9 부터 9 까지이니 4 또는 -7.

M - T ∈ {4, -7}

8STEP 8

(T + M, M - T) 네 쌍을 확인하면 0-9 숫자가 되는 건 (12, 4) 뿐 — T = 4, M = 8.

T = 4, M = 8, H = 0

9STEP 9

세 숫자를 더하면 T + M + H = 4 + 8 + 0 = 12.

T + M + H = 4 + 8 + 0 = 12

10STEP 10

합 12 는 선택지 (C) 와 일치.

12 → (C)

정답

T=4, M=8, H=0 을 대입하면 121,645,100,408,832,000. 자릿수 합 = 1+2+1+6+4+5+1+0+0+4+0+8+8+3+2+0+0+0 = 45, 9 의 배수 ✓. 교대합 = (0+0+3+8+4+0+5+6+2) - (0+2+8+0+0+1+4+1+1) = 28 - 17 = 11, 11 의 배수 ✓. 두 검사 모두 통과.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 배수 판정만 알면 풀 수 있어요! 19! 의 끝자리 0 은 인수 5 개수 = 3 이므로 H = 0. 9 의 배수 조건은 T + M ∈ {3, 12}, 11 의 배수 조건은 M - T ∈ {4, -7} — 두 조건 모두 만족하는 한 자리는 T = 4, M = 8 뿐. 합 = 4 + 8 + 0 = 12, 답 (C).

비슷한 유형 더 풀어보기