AMC 10 · 2019 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

pythagorean-theoremarea-trianglesdifference-of-squaressystems-of-equations caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglessystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

직각삼각형 T₁, T₂ 의 넓이가 각각 1, 2. T₁ 의 한 변과 T₂ 의 한 변이 같고, T₁ 의 또 다른 한 변과 T₂ 의 또 다른 한 변도 같다. 두 삼각형의 (공유하지 않는) 나머지 한 변씩의 곱의 제곱을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{28}{3}$

(B)

(C)

$\frac{32}{3}$

(D)

$\frac{34}{3}$

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 두 직각삼각형의 변에 다리/빗변 표기를 붙여 두 넓이를 동시에 만족시키는 유일한 역할 배정을 찾기. 도구 #9(쉬운 문제): 공유 변이 T₁ 에서는 "다리+빗변", T₂ 에서는 "다리+다리" 임을 인식하면, 두 미지수 a, b 와 두 넓이 방정식만 남음. 도구 #13(대수): ab = 4 와 a²(b² - a²) = 4 로 b⁴ - a⁴ 를 계산. 도구 #3 으로 $\frac{28}{3}$ 을 선택지 (A) 와 매칭.

1STEP 1

두 삼각형을 그리자, 공유 변 a ＜ b. 유일한 역할 배정: T₂ 에선 a, b 가 다리, T₁ 에선 a 는 다리·b 는 빗변.

T₁: 다리 a, √(b² - a²), 빗변 b. T₂: 다리 a, b, 빗변 √(a² + b²).

2STEP 2

넓이 방정식: T₁ 은 다리 a, √(b² - a²) 라 ½a√(b² - a²) = 1; T₂ 는 다리 a, b 라 ½ab = 2.

\frac{1}{2}

a √(b² - a²) = 1,

\frac{1}{2}

a b = 2

3STEP 3

정리: T₂ 에서 ab = 4; T₁ 을 제곱하면 a²(b² - a²) = 4.

ab = 4 그리고 a²(b² - a²) = 4

4STEP 4

전개하면 a²b² - a⁴ = 4, a²b² = (ab)² = 16 대입해 a⁴ = 12.

a² b² - a⁴ = 4 → 16 - a⁴ = 4 → a⁴ = 12

5STEP 5

b = $\frac{4}{a}$ 이므로 b⁴ = $\frac{256}{a⁴}$ = $\frac{256}{12}$ = $\frac{64}{3}$ .

b⁴ =

\frac{(ab)⁴}{a⁴}

\frac{4⁴}{12}

\frac{256}{12}

\frac{64}{3}

6STEP 6

나머지 변은 √(b² - a²) 와 √(a² + b²); 곱의 제곱은 (b² - a²)(b² + a²) = b⁴ - a⁴.

(√(b² - a²) · √(a² + b²))² = (b² - a²)(b² + a²) = b⁴ - a⁴

7STEP 7

b⁴ = $\frac{64}{3}$ , a⁴ = 12 대입: b⁴ - a⁴ = $\frac{64}{3}$ - 12 = $\frac{28}{3}$ .

b⁴ - a⁴ =

\frac{64}{3}

- 12 =

\frac{64 - 36}{3}

\frac{28}{3}

8STEP 8

$\frac{28}{3}$ 을 선택지 (A) 와 매칭.

\frac{28}{3}

→ (A)

정답

\frac{28}{3}

수치 검산: a⁴ = 12 → a² = 2√(3), b² =

\frac{16}{a²}

\frac{8}{√(3)}

. T₁ 의 다른 다리 = √(b² - a²) = √(

\frac{2}{√(3)}

), T₂ 의 빗변 = √(a² + b²) = √(

\frac{14}{√(3)}

). 두 변 곱의 제곱 = (

\frac{2}{√(3)}

)(

\frac{14}{√(3)}

) =

\frac{28}{3}

✓. 근삿값 점검: a ≈ 1.86, b ≈ 2.15. T₂ 넓이 ≈

\frac{1}{2}

(1.86)(2.15) ≈ 2.00 ✓, T₁ 넓이 ≈

\frac{1}{2}

(1.86)(1.07) ≈ 1.00 ✓.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스만 알면 풀 수 있어요! 공유 두 변 a, b 는 T₂ 에서는 다리 두 개, T₁ 에서는 다리와 빗변으로 서로 다른 역할을 해야 함. 두 넓이 식에서 ab = 4, a²(b² - a²) = 4 — 그래서 a⁴ = 12, b⁴ = $\frac{64}{3}$ . 나머지 두 변 곱의 제곱은 (b²-a²)(b²+a²) = b⁴ - a⁴ = $\frac{28}{3}$ , 답 (A).

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