AMC 10 · 2019 · #17

학년 8 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicsymmetry-argumentsequences-geometriccomplementary-counting complementary-countingpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicsequences-geometric

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

빨간 공과 초록 공을 양의 정수 1, 2, 3, … 으로 번호 매겨진 상자에 독립적으로 던집니다. 각 공이 상자 k 에 들어갈 확률은 2^-k 입니다. 빨간 공이 초록 공보다 더 큰 번호 상자에 들어갈 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{2}{7}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{3}{8}$

(E)

$\frac{3}{7}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): R ＞ G 의 경우를 직접 합산하는 것은 번거로움 — 동점 확률 P(R = G) 와 대칭을 이용. 도구 #15 (다르게 정리): 세 사건 R ＞ G, R ＜ G, R = G 가 표본공간 분할. 도구 #5 (패턴): 동점 확률은 4^-k 의 등비급수.

1STEP 1

빨강 ⇔ 초록 을 바꿔도 분포가 같으므로 P(R ＞ G) = P(R ＜ G); 이 값을 p 라 하자.

P(R ＞ G) = P(R ＜ G) = p

2STEP 2

R ＞ G, R ＜ G, R = G 는 서로 배반이고 전체를 이루므로 확률의 합이 1.

P(R ＞ G) + P(R ＜ G) + P(R = G) = 1

3STEP 3

동점은 세기 쉬움: 둘 다 상자 k 에 들어갈 확률은 2^-k · 2^-k = 4^-k (독립).

P(R = G) = Σ_k=1^∞ 4^-k

4STEP 4

초항 $\frac{1}{4}$ , 공비 $\frac{1}{4}$ 인 등비급수의 합: P(R = G) = $\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}}$ = $\frac{1}{3}$ .

P(R = G) =

\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}}

\frac{1}{3}

5STEP 5

대입: 2p + $\frac{1}{3}$ = 1 → p = $\frac{1}{3}$ 이므로 P(R ＞ G) = $\frac{1}{3}$ — 답 (C).

2p +

\frac{1}{3}

= 1 → p =

\frac{1}{3}

정답

\frac{1}{3}

세 결과 (빨강 승, 초록 승, 동점) 각각 확률

\frac{1}{3}

— 깔끔하게 대칭. 처음 몇 동점으로 확인: (1,1), (2,2), (3,3), … 의 합

\frac{1}{4}

\frac{1}{16}

\frac{1}{64}

+ … =

\frac{1}{3}

. ✓. 그리고 빨강 승 사건 (R,G) = (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), … 를 직접 합산: Σ_g=1^∞ 2^-g · 2^-g =

\frac{1}{3}

. ✓.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 지수 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대칭에 의해 빨강 승과 초록 승의 확률이 같고, 동점은 $\frac{1}{3}$ (등비급수). 따라서 P(R ＞ G) = $\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}$ = $\frac{1}{3}$ . 답은 (C).

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