경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019B · #17

학년 8 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)
probability-basicsymmetry-argumentsequences-geometriccomplementary-counting complementary-countingpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicsequences-geometric
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
빨간 공과 초록 공을 양의 정수 1, 2, 3, … 으로 번호 매겨진 상자에 독립적으로 던집니다. 각 공이 상자 k 에 들어갈 확률은 2^-k 입니다. 빨간 공이 초록 공보다 더 큰 번호 상자에 들어갈 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{4}$
(B)
$\frac{2}{7}$
(C)
$\frac{1}{3}$
(D)
$\frac{3}{8}$
(E)
$\frac{3}{7}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): R ＞ G 의 경우를 직접 합산하는 것은 번거로움 — 동점 확률 P(R = G)와 대칭을 이용. 도구 #15 (다르게 정리): 세 사건 R ＞ G, R ＜ G, R = G 가 표본공간 분할. 도구 #5 (패턴): 동점 확률은 4^-k의 등비급수.

1STEP 1

색 대칭 이용하기

빨강 ⇔ 초록 을 바꿔도 분포가 같으므로 P(R ＞ G) = P(R ＜ G); 이 값을 p 라 하자.

P(R ＞ G) = P(R ＜ G) = p
2STEP 2

세 경우로 나누기

R ＞ G, R ＜ G, R = G 는 서로 배반이고 전체를 이루므로 확률의 합이 1.

P(R ＞ G) + P(R ＜ G) + P(R = G) = 1
3STEP 3

동점 확률 식 세우기

동점은 세기 쉬움: 둘 다 상자 k 에 들어갈 확률은 2^-k · 2^-k = 4^-k (독립).

P(R = G) = Σ_k=1^∞ 4^-k
4STEP 4

등비급수 더하기

초항 14\frac{1}{4}, 공비 14\frac{1}{4} 인 등비급수의 합: P(R = G) = 141−14\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = 13\frac{1}{3}.

P(R = G) = 1/4/(1 - 1/4) = 1/3
5STEP 5

확률 구하기

대입: 2p + 13\frac{1}{3} = 1 → p = 13\frac{1}{3} 이므로 P(R ＞ G) = 13\frac{1}{3} — 답 (C).

2p + 1/3 = 1 → p = 1/3
정답
1/3
세 결과 (빨강 승, 초록 승, 동점) 각각 확률 13\frac{1}{3} — 깔끔하게 대칭. 처음 몇 동점으로 확인: (1,1), (2,2), (3,3), … 의 합 14\frac{1}{4} + 116\frac{1}{16} + 164\frac{1}{64} + … = 13\frac{1}{3}. ✓. 그리고 빨강 승 사건 (R,G) = (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), … 를 직접 합산: Σ_g=1^∞ 2^-g · 2^-g = 13\frac{1}{3}. ✓.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 지수 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대칭에 의해 빨강 승과 초록 승의 확률이 같고, 동점은 13\frac{1}{3} (등비급수). 따라서 P(R ＞ G) = 1−132\frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = 13\frac{1}{3}. 답은 (C).

  • 색 대칭 이용하기
  • 세 경우로 나누기
  • 동점 확률 식 세우기
  • 등비급수 더하기
  • 확률 구하기

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