경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2025 · #25

학년 8 countinggeometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance

combinations-basicreflection-symmetryarea-rectanglessystematic-enumeration complementary-countingeasier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: combinations-basicarea-rectanglesreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 다이아몬드 모양의 격자(정사각형을 45° 회전시킨 모양) 위에서, 모든 격자 경로는 가장 아래 꼭짓점에서 출발해 가장 위 꼭짓점에 도착합니다. 각 단계마다 북동(NE) 또는 북서(NW) 방향으로 한 칸씩 이동합니다. 경로마다 그 경로와 다이아몬드의 오른쪽 변 사이에 갇힌 영역의 넓이를 잰 다음, 가능한 모든 경로에 대해 이 넓이를 모두 더한 값을 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2520

(B)

3150

(C)

3840

(D)

4730

(E)

5050

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여사건 세기

252 개 경로의 오른쪽 넓이를 하나씩 더해 가는 방법은 비현실적입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓰면 깔끔해집니다 — 각 경로 P 마다 NE 와 NW 를 모두 뒤바꾼 거울 경로 P' 와 짝을 지으면, A_R(P') = A_L(P) = 25 - A_R(P) 이므로 어떤 한 쌍이든 넓이 합이 정확히 25가 되어 개별 넓이를 몰라도 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 1×1, 2×2 다이아몬드에서 먼저 이 발상을 검증해 보는 용도이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 10 단계 수열을 C(10, 5) = 252 가지로 세는 데 사용합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 "다이아몬드, 한 경로, 오른쪽 영역" 을 헷갈리지 않게 잡아 줍니다.

1STEP 1

경로 하나 그려 보기

다이아몬드와 경로를 그리면 NE/NW 는 45° 돌린 정사각형의 두 방향이고, 경로는 10 단계로 아래에서 위로 오릅니다.

5 NE + 5 NW = 10 단계

2STEP 2

전체 경로 수 세기

각 경로는 10 단계 중 NE 자리 5 개를 고르는 것이므로, 경로 수는 C(10,5) = 252 개입니다.

C(10, 5) = 10!/5! 5! = (10 · 9 · 8 · 7 · 6)/(5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 252

3STEP 3

작은 다이아몬드로 확인하기

작은 격자로 검증: 1×1은 합 1, 2×2는 합 12로, 둘 다 합 = (경로 수) × (격자 넓이의 절반) 을 따릅니다.

1 × 1: Σ A_R = 0+1 = 1 = 2 × 1/2. 2 × 2: Σ A_R = 0+1+1+3+3+4 = 12 = 6 × 4/2.

4STEP 4

경로를 대칭 짝으로 묶기

관점 바꾸기: 경로를 뒤집으면(NE↔NW) 오른쪽↔왼쪽이 바뀌고, 한 경로는 다이아몬드를 둘로 갈라 A_R + A_L = 25.

A_R(P) + A_L(P) = 25, A_R(P') = A_L(P)

5STEP 5

두 식 더하기

두 식을 더하면 미지수가 상쇄되어, 거울 짝마다 오른쪽 넓이 합이 A_R(P) + A_R(P') = 25 입니다.

A_R(P) + A_R(P') = 25 (모든 경로 P)

6STEP 6

모든 경로의 합 구하기

모든 경로에 대해 합하면 평균 오른쪽 넓이가 $\frac{25}{2}$ 이므로 총합은 252 × $\frac{25}{2}$ = 3150 → (B).

Σ_P A_R(P) = 252 · 25/2 = 126 · 25 = 3150 → (B)

정답

3150

그림에 주어진 두 예시 경로의 오른쪽 넓이가 11과 13으로 모두 25의 절반 부근입니다. 대칭성에 의해 252 개 경로의 평균 오른쪽 넓이는 정확히 25의 절반인

\frac{25}{2}

= 12.5가 되어야 하는데, 이는 11과 13 사이에 깔끔하게 자리 잡습니다. 따라서 252 × 12.5 = 3150이고, 이는 3단계에서 작은 격자로 확인한 규칙("합 = 경로 수 × 넓이의 절반")과도 일치하는 선택지 (B)입니다. 다른 선택지로는 (A) 2520이면 평균 10, (C) 3840이면 평균 15.24가 되어야 하는데, 거울 대칭 아래에서는 둘 다 성립할 수 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "반사 대칭" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 경로를 가운데 축으로 뒤집어 짝을 지으면 두 넓이의 합이 항상 25가 되거든요!

경로 하나 그려 보기
전체 경로 수 세기
작은 다이아몬드로 확인하기
경로를 대칭 짝으로 묶기
두 식 더하기
모든 경로의 합 구하기

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